定積分及其應(yīng)用

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1、定積分的應(yīng)用微積分基本公式定積分及其應(yīng)用返回定積分的概念定積分的積分法定積分概念與性質(zhì)返回曲邊梯形面積定積分的概念幾何意義定積分的性質(zhì)一.引例曲邊梯形面積1.曲邊梯形:由連續(xù)曲線y=f(x),直線x=a,x=b及x軸所圍成的圖形oxyy=f(x)ab如何求面積?返回2.思想方法（回顧割圓術(shù)）（1）分割：將曲邊梯形分成許多細長條在區(qū)間[a,b]中任取若干分點：把曲邊梯形的底[a,b]分成n個小區(qū)間：返回過各分點作垂直于x軸的直線段，把整個曲邊梯形分成n個小曲邊梯形，其中第i個小曲邊梯形的面積記為xy0

2、y=f(x)返回（2）取近似:將這些細長條近似地看作小矩形xy0y=f(x)ξｉf(ξ)ｉ返回（3）求和：小矩形的面積之和是曲邊梯形面積的一個近似值。把n個小矩形的面積相加得和式它就是曲邊梯形面積A的近似值，即xy0y=f(x)ξｉf(ξ)ｉ返回（4）取極限：當分割無限時，所有小矩形的面積之和的極限就是曲邊梯形面積A的精確值。小區(qū)間長度最大值趨近于零，即分割越細，就越接近于曲邊梯形的面積A，當其中為返回所有小區(qū)間的長度最大者,即時,和式極限就是A，即xy0y=f(x)ξｉf(ξ)ｉ返回二、定積分的概

3、念1.定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上有定義。在區(qū)間[a,b]中任取分點將區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間：其長度為返回如果和式極限存在,其中該極限值就稱為f(x)在[a,b]上的定積分.記為返回f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)dx稱為被積式，x稱為積分量變量，[a,b]為積分區(qū)間，a,b分別稱為積分下限與上限.積分符號下限上限被積函數(shù)被積表達式積分變量返回2.定積分定義說明：1）定積分表示一個數(shù)值，與被積表達式和積分上、下限有關(guān)，而與積分變量的表示無關(guān)。例如：2)規(guī)定：返回三、定積分的幾何意義

4、A-AA表示以y=f(X)為曲邊的曲邊梯形面積ababy=f(x)>0y=f(x)<0xxyy00AA返回2.如果f(x)在[a,b]上時正，時負，如下圖3.結(jié)論：幾何意義abxyy=f(x)0返回四、定積分的性質(zhì)性質(zhì)2:設(shè)f(x)在[a,b]上可積,則kf(x)在[a,b]可積,且性質(zhì)1:設(shè)f(x)、g(x)在[a,b]上可積,則f(x)?g(x)在[a,b]可積,且返回性質(zhì)3:(可加性)設(shè)f(x)在[a,b]上可積,a

5、注意：C點既可為(a,b)內(nèi)的點，也可為(a,b)外的點返回性質(zhì)4:設(shè)在[a,b]上,f(x)?1.則性質(zhì)5:(比較性質(zhì))設(shè)f(x)、g(x)在[a,b]上可積,且f(x?g(x).則返回性質(zhì)6:(估值性質(zhì))設(shè)M和m分別是f(x)在[a,b]上的最大值及最小值,則(a

6、回積分中值性質(zhì)的幾何解釋：[a,b]oxyy=f(x)返回例估計定積分的值解先求在[－1,1]上的最大值和最小值因得駐點x=0而f(0)=1,f(－1)=f(1)=1/e則m=1/e,M=1于是有返回微積分基本公式返回問題提出上限函數(shù)牛－萊公式變速直線運動中位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系變速直線運動中路程為另一方面這段路程可表示為一、問題提出返回考察定積分記稱為積分上限函數(shù)二、積分上限函數(shù)返回積分上限函數(shù)的性質(zhì)證返回由積分中值定理得返回定理2（原函數(shù)存在定理）定理的重要意義：（1）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是

7、存在的.（2）初步揭示了積分學中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系.返回定理3（微積分基本公式）證三、牛頓—萊布尼茨公式返回令令牛頓—萊布尼茨公式返回微積分基本公式表明：注意求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題.返回例計算下列定積分解返回注意本題如不分段積分，則得如下錯誤結(jié)果：返回定積分的積分法返回換元積分法分部積分法定理一、換元積分法返回應(yīng)用換元公式時應(yīng)注意:（1）（2）返回例返回返回證返回注:上述結(jié)論可用于簡化奇函數(shù)、偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分計算，特別是奇函數(shù)，不需計算即得出結(jié)果.例解由于是奇函數(shù),由上述

8、結(jié)論知:返回定積分的分部積分公式推導二、分部積分公式返回例返回例返回返回例返回定積分的應(yīng)用返回定積分元素法平面圖形面積旋轉(zhuǎn)體體積其它應(yīng)用舉例定積分的元素法把曲線梯形的面積A表示為定積分(1)分割區(qū)間[a,b],有A對于[a,b]具有區(qū)間可加性。(2)計算?Ai的近似值(3)求和,得A的近似值(4)求極限，得返回用[x,x+dx]表示任一小區(qū)間,?A表示窄曲邊梯形的面積，于是取[x,x+dx]的左端點x為?，有稱f(x)dx為面積元素，記為dA=f(x)dx,于是這種方