專題——定積分及其應用

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1、專題——定積分及其應用5.1定積分的概念與性質定積分無論在理論上還是實際應用上，都有著十分重要的意義，它是整個高等數(shù)學最重要的內容之一.5.1.1實例分析1.曲邊梯形的面積在初等數(shù)學中,我們已經(jīng)學會計算多邊形和圓的面積,至于任意曲邊所圍成的平面圖形的面積,只有依賴于曲邊梯形并利用極限的方法才能得到比較完滿的解決.所謂曲邊梯形,就是在直角坐標系中,由直線及曲線所圍成的圖形，如圖5.1(a),(b),(c)都是曲邊梯形.aoxaobxyaobxbyy(a)(b)(c)圖5.1現(xiàn)在求時，在連續(xù)區(qū)間44上圍成的曲邊梯形的面積A（如圖5.1(a

2、),(b)所示），用以往的知識沒有辦法解決.為了求得它的面積，我們按下述步驟來計算：(1)分割——將曲邊梯形分割成小曲邊梯形在區(qū)間內任意插入個分點：，把區(qū)間分成個小區(qū)間：，第個小區(qū)間的長度為，過每個分點作垂直于軸的直線段，它們把曲邊梯形分成個小曲邊梯形（圖5.2），小曲邊梯形的面積記為.oxy圖5.2(2)近似——用小矩形面積近似代替小曲邊梯形面積在小區(qū)間上任取一點，作以為底，為高的小矩形，用小矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，則.(3)求和——求個小矩形面積之和個小矩形面積之和近似等于曲邊梯形之和，即44.(4)取極限令，當分點無

3、限增多且時，和式的極限便是曲邊梯形的面積A，即.2．變速直線運動的路程設一物體作變速直線運動，其速度是時間的連續(xù)函數(shù)，求物體在時刻到間所經(jīng)過的路程.我們知道，勻速直線運動的路程公式是：，現(xiàn)設物體運動的速度是隨時間的變化而連續(xù)變化的，不能直接用此公式計算路程，而采用以下方法計算：(1)分割——把整個運動時間分成個時間段在時間間隔內任意插入個分點：，把分成個小區(qū)間：，第個小區(qū)間的長度為第個時間段內對應的路程記作.(2)近似——在每個小區(qū)間上以勻速直線運動的路程近似代替變速直線運動的路程在小區(qū)間上任取一點,用速度近似代替物體在時間上各個時刻

4、的速度，則有.(3)求和——求個小時間段路程之和44將所有這些近似值求和，得到總路程的近似值，即.(4)取極限令，當分點的個數(shù)無限增多且時，和式的極限便是所求的路程.即從上面兩個實例可以看出，雖然二者的實際意義不同，但是解決問題的方法卻是相同的，即采用“分割-近似-求和-取極限”的方法，最后都歸結為同一種結構的和式極限問題.類似這樣的實際問題還有很多，我們拋開實際問題的具體意義，抓住它們在數(shù)量關系上共同的本質特征，從數(shù)學的結構加以研究，就引出了定積分的概念.5.1.2定積分的概念定義5.1設函數(shù)在區(qū)間上有定義，任取分點把區(qū)間任意分割成

5、個小區(qū)間，第個小區(qū)間的長度為，記.在每個小區(qū)間上任取一點作和式，當時，若極限存在（這個極限值與區(qū)間的分法及點的取法無關），則稱函數(shù)在44上可積，并稱這個極限為函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作，即.其中，“”稱為被積函數(shù)，“”稱為被積表達式，稱為積分變量，稱為積分下限，稱為積分上限，稱為積分區(qū)間.根據(jù)定積分的定義，前面所討論的兩個實例可分別敘述為：①曲邊梯形的面積是曲線在區(qū)間上的定積分.().②變速直線運動的物體所走過的路程等于速度函數(shù)在時間間隔上的定積分..關于定積分的定義作以下幾點說明：⑴閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)是可積的；閉區(qū)間上只有有限個間斷

6、點的有界函數(shù)也是可積的.⑵定積分是一個確定的常數(shù)，它取決于被積函數(shù)和積分區(qū)間，而與積分變量使用的字母的選取無關，即有.⑶在定積分的定義中，有，為了今后計算方便，我們規(guī)定：.容易得到.5.1.3定積分的幾何意義設是上的連續(xù)函數(shù)，由曲線及直線所圍成的44曲邊梯形的面積記為.由定積分的定義及5.1.1實例1，容易知道定積分有如下幾何意義：（1）當時，（2）當時，（3）如果在上有時取正值，有時取負值時，那么以為底邊，以曲線為曲邊的曲邊梯形可分成幾個部分，使得每一部分都位于軸的上方或下方.這時定積分在幾何上表示上述這些部分曲邊梯形面積的代數(shù)和，

7、如圖5.3所示，有其中分別是圖5.3中三部分曲邊梯形的面積，它們都是正數(shù).例5.1.1利用定積分的幾何意義，證明.證令，顯然，則由和直線，所圍成的曲邊梯形是單位圓位于44軸上方的半圓.如圖5.4所示.因為單位圓的面積，所以半圓的面積為.由定積分的幾何意義知：.5.1.4定積分的性質由定積分的定義，直接求定積分的值，往往比較復雜，但易推證定積分具有下述性質，其中所涉及的函數(shù)在討論的區(qū)間上都是可積的.性質5.1.1被積表達式中的常數(shù)因子可以提到積分號前，即.性質5.1.2兩個函數(shù)代數(shù)和的定積分等于各函數(shù)定積分的代數(shù)和，即.這一結論可以推廣

8、到任意有限多個函數(shù)代數(shù)和的情形.性質5.1.3（積分的可加性）對任意的點，有.注意的任意性意味著不論是在之內，還是在之外，這一性質均成立.性質5.1.4如果被積函數(shù)為常數(shù)),則.特別地,當時,有.性質5.1.5（積分的保