貝塞爾方程的求解

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1、常微分方程論文題目:貝塞爾方程的求解姓名:任佳菁專業(yè):數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院:初陽學(xué)院年級:2007學(xué)號:07990206論文完成時間:2009年12月30日貝塞爾方程的求解摘要：本文在教材《常微分方程》中關(guān)于貝塞爾（Bessel）方程解法介紹的基礎(chǔ)上，探討了n階貝塞爾方程的解法，同時得到了一種針對零階貝塞爾方程的簡便解法。關(guān)鍵詞：n階貝塞爾方程零階貝塞爾方程解法一、ｎ階貝塞爾方程的求解ｎ階貝塞爾方程的形式為（1.1）式中ｎ為非負實數(shù),稱為貝塞爾方程的階。由高等教育出版社《常微分方程》第三版第4.3節(jié)定理11知，方程（1.1）有形

2、如的解，將其代入（1.1）得，左邊合并ｘ的同次冪項得，令各項的系數(shù)等于0，得一系列的代數(shù)方程：因a不等于0，從(1.2)的第一個方程解得的兩個值和。分兩種情況考慮。1.1先考慮時方程(l.1)的一個特解將代入(1.2)的第二式，得，而，從而得。再將逐次代入（1.2）的各式，一般地得故有從而求得一般的將各代入得到方程(1.1)的一個解，（1.3）不妨令,其中定義如下：當(dāng)s>0時，；當(dāng)s<0且非整數(shù)時，由遞推公式定義。具有性質(zhì)；，為正整數(shù)。故（1.3）可變?yōu)?，注意到函?shù)的性質(zhì)，即有（1.1）的一個特解為。1.2再考慮時方程（1.1

3、）的另一個特解將代入（1.2）的第二式得，當(dāng)時，有。再將逐次代入（1.2）的各式，一般地得當(dāng)約定，則有（1.4）分下面兩種情況考慮1.2.1當(dāng)2n不等于非負整數(shù)時從（1.4）解得，按下腳標(biāo)的奇偶性分為由求得也得一般地我們得到將代入，得到方程（1.1）的一個解我們令。則有由函數(shù)的性質(zhì)且合并有稱為階貝塞爾函數(shù)，是方程的另一個特解。利用達朗貝爾判別法，可以驗證與，即與都是收斂的。因此當(dāng)2n不等于非負整數(shù)時，與都是方程（1.1）的解且線性無關(guān)，因為它們可展為由的不同冪次開始的級數(shù)，從而它們的比不可能是常數(shù)。于是方程（1.1）的通解：在

4、2n不等于非負整數(shù)時為，這里與是任意常數(shù)。1.2.2當(dāng)2n等于非負整數(shù)時（i）2n=2m+1是奇數(shù)這時，由（1.4）知，當(dāng)k取到偶數(shù)時，的系數(shù)。因此與1.2.1一樣可以確定。當(dāng)k取到奇數(shù)時，若，則的系數(shù)為，則。若，則由（1.4）得知的系數(shù)為零，且有注意到，因此，只要令，則仍有。所以當(dāng)2n為奇數(shù)時，對應(yīng)于仍可得到且表達式一樣，但討論過程與1.1很不一樣。（ii）2n等于偶數(shù)，即n為非負整數(shù)用待定系數(shù)法得不到與線性無關(guān)的解，但可用降階法求得與線性無關(guān)的解。綜上所述，當(dāng)n不等于非負整數(shù)時方程（1.1）有兩個冪級數(shù)解與且線性無關(guān)，故通

5、解為。一、零階貝塞爾方程的求解2.1問題的提出對于零階Bessel方程的求解，通常的作法(也是一般微分方程教科書所采用的通用解法)是利用冪級數(shù)解法，可求得其對一切x值一致且絕對收斂的解(2.1)多數(shù)人都覺得這已經(jīng)達到了數(shù)學(xué)上的完美，令人滿意了。但是，若我們進一步深思，就會發(fā)現(xiàn)收斂的很快，在實際計算中很方便，可是當(dāng)值越大時，此解收斂得就越慢。這也就是說，對于較大的值，要求得滿足一定精度要求的數(shù)值解，計算量是相當(dāng)大的。因此，當(dāng)較大時，冪級數(shù)解就不實用了。本文試圖用其它方法來尋求一個當(dāng)較大時更便于實際計算的解的公式。2.2問題的解決

6、考察零階Bessel方程(2.2)做變量代換，方程（2.2）化為（2.3）當(dāng)時，方程趨向于，此方程有解為。故對方程（2.3）做進一步的變量置換，則方程化為（2.4）則方程（2.4）有形如的解，代入方程（2.4）得其中第二個合式中用n+1代替n并合并化簡得，這是一個恒等式，對一切均成立，所以各項系數(shù)均為零，即。取，得，故得解（2.5）在（2.5）中以代替得故方程（2.2）當(dāng)時被形式的滿足。這兩式右端雖對一切x值發(fā)散,但是對于固定的n，當(dāng)時，由于，所以上兩式均是漸進展開式，為了得到方程（2.2）的實數(shù)解，由齊次線性方程組的疊加原理

7、得，也為方程（2.2）的解。當(dāng)較大時，此表達式比冪級數(shù)解的表達式運算量小得多。例如，當(dāng)x=4時，要給出三位有效數(shù)字的解，用冪級數(shù)解的公式計算需要取八項，而本公式的首項就達到了同樣的精確度。當(dāng)x進一步增大時，要得到同樣精度的結(jié)果，本公式比冪級數(shù)解的工作量就小得更多。參考文獻[1]趙新俊,關(guān)于零階Bessel方程的求解,兵團教育學(xué)院學(xué)報,1999年第3期;[2]李自生,關(guān)于Bessel方程冪級數(shù)解法的注記,張家口師范?？茖W(xué)校學(xué)報,2001年第6期;[3]黃銀生,倪致祥,貝塞爾方程通解的一個簡明推求,阜陽師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版),

8、2009年第2期;[4]常安定,左大海,非齊次貝塞爾方程的解,紡織高?；A(chǔ)科學(xué)學(xué)報,2000年第3期;[5]王致華,變形貝塞爾方程的新解法,陜西工學(xué)院學(xué)報,1992年第2期;[6]王高雄，朱思銘等,常微分方程,高等教育出版社第三版,2006年6月;論文完成時間:2009年12