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1、第九章柱函數(shù)在§7–3中，已經(jīng)求得貝塞爾方程的級數(shù)解。在本章中，首先討論貝塞爾方程的不同形式的線性獨立解，然后在第二節(jié)中重點討論含貝塞爾方程的本征值問題。本章的最后，將簡單介紹幾種變形的貝塞爾方程的解。本章的內(nèi)容在電動力學(如光導波的電磁結(jié)構(gòu))及量子力學(如彈性散射中的分波法)中均有重要應(yīng)用。§9–1貝塞爾方程的解在§7–3中，已經(jīng)求出了貝塞爾方程的兩個線性獨立解。當?為非整數(shù)時，這兩個線性獨立的解分別為(一)貝塞爾函數(shù)和諾依曼函數(shù)J?(x)稱為?階貝塞爾函數(shù)。貝塞爾函數(shù)J0(x)、J1(x)、J2(x)…的圖像當?為整數(shù)或零時，J?(x)與J–?(x)不是線性獨
2、立的，它們之間有以下關(guān)系貝塞爾方程的另一個獨立解的形式為：(7-3-15)但是，確定以上解中的系數(shù)是一件很麻煩的事情。有人采用一種巧妙的辦法確定了貝塞爾方程中當?為整數(shù)或零時的獨立解。具體方法為：取J?(x)與J–?(x)的適當?shù)木€性組合，使得非整數(shù)?趨于整數(shù)m時，該線性組合成為0/0型的不定式，再通過這一不定式的值來得到?為整數(shù)時貝塞爾方程的另一獨立解。符合要求的J?(x)與J–?(x)的線性組合為N?(x)與J?(x)、J–?(x)是線性無關(guān)的。當?→m時，利用洛比達法則，有——諾依曼函數(shù)(二)貝塞爾函數(shù)的生成函數(shù)和積分表示在§7–3例2(p60)中，曾證明函
3、數(shù)在t=0的洛朗展開式為其展開系數(shù)為Jm(x)，所以上式左邊的函數(shù)稱為Jm(x)的生成函數(shù)。令t=ei?，可以得到利用洛朗展開式的系數(shù)公式，得到(9)(8)上式即是貝塞爾函數(shù)的一種積分表達式，其中C是沿逆時針方向繞t=0一圈的任意回路。若取C為t平面上的單位圓，則在C上有t=ei?。于是——貝塞爾函數(shù)常用的積分形式(10)(11)(三)貝塞爾函數(shù)和諾依曼函數(shù)的漸近表示漢克耳函數(shù)從貝塞爾函數(shù)的第一種積分表達式出發(fā)，利用最陡下降法，可以得到貝塞爾函數(shù)的漸近表達式。為此，將貝塞爾函數(shù)第一種積分表示寫為根據(jù)最陡下降法，需計算h(t)的一階、二階導數(shù)：h'(t)的零點是：t
4、0=±i，因此，有由此，得到此時，積分回路C應(yīng)選為沿垂直于–?0/2的方向通過兩個鞍點±i，如下圖所示。也就是說，積分路徑在通過±i的兩小段上與虛軸成450角，然后按任意路徑環(huán)繞，形成閉合回路。對積分的主要貢獻來自鞍點附近，即上圖中的斜線段。利用(3-4-18)，得到將和h(±i)=±i代入上式，有這是貝塞爾函數(shù)漸進展開式的第一項，它可以用來作為x很大時Jn(x)的漸進表示。可以證明，這個結(jié)果對任何v階貝塞爾函數(shù)都成立，即根據(jù)N?(x)的定義式，利用上式，可以得到N?(x)的漸進展開式：由此可見，當
5、x
6、很大時，J?(x)和N?(x)分別具有余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的振
7、蕩特性，但振幅與成反比，隨x增大而衰減。仿照三角函數(shù)和虛指數(shù)函數(shù)的關(guān)系式(1-2-12)，定義漢克爾函數(shù)它們的漸近表達式是(四)遞推公式柱函數(shù)在計算貝塞爾函數(shù)的積分時，經(jīng)常要用到各階貝塞爾函數(shù)之間、貝塞爾函數(shù)與其導數(shù)之間的關(guān)系，即遞推公式。下面就來推導它們。以x?乘(9-1-2)式的兩邊，再對x求導，得到與此類似，以x–?乘(9-1-2)式，然后求導，可得到將以上兩式展開，經(jīng)化簡分別得到將上兩式相加，得到將式(9-1-20)和式(9-1-21)相減，有在式(9-1-22)中令?=0，則有(9-1-22)在式(9-1-23)中令?=1，則有(9-1-23)由此可知，
8、若已有零階和一階貝塞爾函數(shù)表，則由(9-1-23)式可計算整數(shù)階貝塞爾函數(shù)之值。由上述遞推公式，并由諾依曼函數(shù)的定義式(9-1-23)，可以導出諾依曼函數(shù)的類似的遞推公式：因為J?(x)和N?(x)都滿足(9-1-26)型的遞推公式，而和是J?(x)與N?(x)的線性組合，所以漢克爾函數(shù)也滿足同樣的遞推公式。常把任一滿足這些遞推關(guān)系的函數(shù)統(tǒng)稱為柱函數(shù)，以Z?來表示。對一般的柱函數(shù)，即有可以證明：柱函數(shù)滿足貝塞爾方程。但反過來，貝塞爾方程的解不一定滿足以上遞推關(guān)系。例利用遞推關(guān)系證明證明：利用遞推關(guān)系及分部積分，得到若n為奇數(shù)，照這樣積分下去，最后一項積分為此時，積
9、分結(jié)果可用J0(x)和J1(x)表示。若n為偶數(shù)，最后一項為，因而只能對J0(x)的級數(shù)表達式逐項積分。當n=3時，有
