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1、8.貝塞爾曲線和曲面貝塞爾曲線引論貝塞爾曲線的性質(zhì)貝塞爾曲線的算法貝塞爾曲面8.1貝塞爾曲線引論法國工程師PierreBézier在1862年提出了便于設(shè)計(jì)師應(yīng)用的一類參數(shù)曲線為雷諾公式設(shè)計(jì)汽車，稱為Bézier曲線，受到工業(yè)界和學(xué)術(shù)界的重視。1872年英國的福里斯特發(fā)現(xiàn)Bézier曲線可以方便地用控制頂點(diǎn)的Bernstein基函數(shù)來表示，成為被廣泛采用的Bézier曲線的定義。在二維或三維空間給定n+1個(gè)點(diǎn)P0、P1、P2、…、Pn。參數(shù)t的n次的Bézier曲線是其中P0、P1、…、Pn都是二維
2、或三維空間的點(diǎn)，稱為控制點(diǎn)，稱Bk,n(t)是n次Bernstein基函數(shù).，Bernstein基函數(shù)的性質(zhì)1、非負(fù)性：Bk.n(t)?0，而且，Bk.n(0)=?k,0,Bk.n(1)=?k,n當(dāng)k=1,2,…,n-1時(shí)2、權(quán)性：3、對(duì)稱性：4、導(dǎo)數(shù)：5、最大值：在t=k/n時(shí)取得最大值。6、遞推公式：事實(shí)上，當(dāng)k=1,2,…,n-1時(shí)7、升階：當(dāng)k=0,1,…,n時(shí)證明：第三式可以由前兩式推出。8.2貝塞爾曲線的性質(zhì)1、端點(diǎn)的位置：Bézier曲線通過第一個(gè)控制點(diǎn)P0和最后一個(gè)控制點(diǎn)Pn。這是因
3、為2、端點(diǎn)的切線：Bézier曲線的切矢量是3、端點(diǎn)的曲率K(0)=
4、nP0P1?n(n-1)(P1P2-P0P1)
5、/
6、nP0P1
7、3=(n-1)/n
8、P0P1?P1P2
9、/
10、P0P1
11、3K(1)=(n-1)/n
12、Pn-2Pn-1?Pn-1Pn
13、/
14、Pn-1Pn
15、3P0P1…Pn稱為Bezier曲線的控制頂點(diǎn)，它們組成控制多邊形．4、仿射不變性Bezier曲線的形狀和位置僅與控制點(diǎn)的位置有關(guān)。這是指某些幾何特性不隨坐標(biāo)變換而變化的特性。Bezier曲線的位置與形狀與其特征多邊形頂點(diǎn)Pi(i=0,1
16、,...,n)的位置有關(guān)，它不依賴坐標(biāo)系的選擇5、凸包性由于Ｂernstein多項(xiàng)式的性質(zhì)，Bezier曲線落在控制點(diǎn)的凸包內(nèi)6、交互能力移動(dòng)第k個(gè)結(jié)點(diǎn)，對(duì)Bezier曲線在t=k/n處的影響最大．7、變差縮小性若Bezier曲線的特征多邊形P0P1...Pn是一個(gè)平面圖形，則平面內(nèi)任意直線與P(t)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不多于該直線與其特征多邊形的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，這一性質(zhì)叫變差縮減性質(zhì)。此性質(zhì)反映了Bezier曲線比其特征多邊形的波動(dòng)小，也就是說Bezier曲線比特征多邊形的折線更光順。特別地，凸的控制多邊形，生成
17、凸的Bezier曲線。設(shè)P0、P、P2是一條拋物線上順序三個(gè)不同的點(diǎn)。過P0和P2點(diǎn)的兩切線交于P1點(diǎn)，在P點(diǎn)的切線交P0P1和P2P1于Q和R，則拋物線的三切線定理是P0P1P2PQR當(dāng)P0和P2固定，引入?yún)?shù)t，令上述比值為t:(1-t),Q=(1-t)P0+tP1,R=(1-t)P1+tP2，P=(1-t)Q+tR,當(dāng)t從0變到1，第一、二式就分別表示控制二邊形的第一、二條邊，它們是兩條一次Bezier曲線。8.3貝塞爾曲線的算法將一、二式代入第三式得：P=(1-t)2P0+2t(1-t)P1
18、+t2P2當(dāng)t從0變到1時(shí)，它表示了由三頂點(diǎn)P0、P1、P2三點(diǎn)定義的一條二次Bezier曲線。并且表明：這二次Bezier曲線P0,2可以定義為分別由前兩個(gè)頂點(diǎn)(P0,P1)和后兩個(gè)頂點(diǎn)(P1,P2)決定的一次Bezier曲線的線性組合。依次類推，由四個(gè)控制點(diǎn)定義的三次Bezier曲線P0,3可被定義為分別由(P0,P1,P2)和(P1,P2,P3)確定的二條二次Bezier曲線的線性組合，由(n+1)個(gè)控制點(diǎn)Pi(i=0,1,...,n)定義的n次Bezier曲線P0n可被定義為分別由前、后n個(gè)
19、控制點(diǎn)定義的兩條(n-1)次Bezier曲線P0,n-1與P1,n-1的線性組合。8.4Bezier曲面利用Bezier曲線的性質(zhì)，張量積形式的Bezier曲面的定義可以如下定義。兩組正交的Bezier曲線的控制頂點(diǎn)可作為矩形網(wǎng)格。設(shè)Pij(i=0,…,n;j=0,…,m)為空間點(diǎn)列，這些點(diǎn)生成的n+1行、m+1列的矩形網(wǎng)格稱為特征網(wǎng)格，其中在第i+1行、第j+1列的點(diǎn)是Pij。相應(yīng)的m?n次張量積形式的Bezier曲線為其矩陣形式是其中，是k次Bernstein基函數(shù)。在一般實(shí)際應(yīng)用中，n,m不大
20、于4。Bezier曲線的變差縮小性質(zhì)不能推廣到曲面。但是，其它許多性質(zhì)可推廣到Bezier曲面。根據(jù)上述定義，1.Bezier曲面的幾何位置依賴于控制頂點(diǎn)，而與坐標(biāo)系無關(guān)（幾何不變性）；2.Bezier曲面有關(guān)于參數(shù)的對(duì)稱性；3.Bezier曲面有凸包性。P03P13P23P33P02P01P00P10P20P31P32P11P21P12P22P(u,0)P30P(1,v)P(u,1)P(0,v)
