多元函數(shù)微積分(I)

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1、第七章多元函數(shù)微積分學(xué)§1.多元函數(shù)概念（1）多元函數(shù)定義z=f(x,y),(x,y)?D，D為平面區(qū)域（2）定義區(qū)域及其不等式表示法去心鄰域開區(qū)域，閉區(qū)域不含邊界的平面區(qū)域稱為開區(qū)域；包含邊界在內(nèi)的平面區(qū)域稱為閉區(qū)域。平面區(qū)域的不等式表示法（平行直線束表示法）將平面區(qū)域看為無窮條具有某種共同性質(zhì)的垂直或者水平直線（或線段）的組合。iii)有界區(qū)域，無界區(qū)域可包含在一個半徑充分大的圓內(nèi)的平面區(qū)域，稱為有界區(qū)域；不論半徑多大，都無法包含在該圓內(nèi)的平面區(qū)域，稱為無界區(qū)域。表示形式：解所求定義域?yàn)榍蟮?/p>

2、定義域．例1用不等式表示法表示以下平面區(qū)域：（3）二元函數(shù)的函數(shù)值求法問題實(shí)例（4）二元函數(shù)圖像的幾何意義二元函數(shù)的圖像是覆蓋在定義區(qū)域D上的，空間中的一個曲面.二多元函數(shù)的極限定義說明：（1）定義中的方式是任意的；（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限.（3）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似．證求證所以原結(jié)論成立．例2解其中求極限例3例4例5注意：1.一元函數(shù)與多元函數(shù)的共性與差異？2.如何理解二元函數(shù)的極限定義與一元函數(shù)極限定義有何差異？確定二重極限不存在的方法：例6解沿x軸考察,沿y軸考察,

3、（2）二元函數(shù)極限的求法二元極限的四則運(yùn)算法則以及極限變量替換法均仍成立。（3）二元函數(shù)連續(xù)性定義（4）二元初等函數(shù)的連續(xù)性利用二元初等函數(shù)連續(xù)性計算二元極限：二元初等函數(shù)在其有定義的點(diǎn)上均是連續(xù)的。若則稱二元函數(shù)在(x0,y0)點(diǎn)處連續(xù)；若二元函數(shù)在其定義區(qū)域中每一點(diǎn)均連續(xù)，則稱該二元函數(shù)在定義區(qū)域中連續(xù)。（5）有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)i)有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的最大最小值定理ii)有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的介值定理第三節(jié)偏導(dǎo)數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計算法偏導(dǎo)函數(shù):或2.偏導(dǎo)數(shù)的概念可以

4、推廣到二元以上函數(shù).說明:1.偏導(dǎo)數(shù)實(shí)質(zhì)上仍然是一元函數(shù)的微分問題.給定三元函數(shù)u=f(x,y,z)及定點(diǎn)(x0,y0,z0)?D,若下面的一元極限存在:則稱此極限為三元函數(shù)u=f(x,y,z)在點(diǎn)(x0,y0,z0)處關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)，記為：類似可定義三元函數(shù)u=f(x,y,z)在點(diǎn)(x0,y0,z0)處關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)和關(guān)于z的偏導(dǎo)數(shù):（2）多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)計算方法由于多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)定義中的極限是一元函數(shù)的極限問題，所以說多元函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)其實(shí)質(zhì)是“在固定其他自變量的前提下，對某一個自變量求導(dǎo)數(shù)”的

5、問題。因此，多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)運(yùn)算與一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算一樣，成立四則運(yùn)算法則；一元基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式在多元初等函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)計算中仍然適用，即可以用“公式法”計算初等多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)；分段形式的多元函數(shù)在分段點(diǎn)上的求偏導(dǎo)數(shù)，由于多元分段函數(shù)一般不是多元初等函數(shù)，故一般只能用“定義法”求偏導(dǎo)數(shù)值。二元函數(shù)z=f(x,y)在某一點(diǎn)(x0,y0)上對自變量x求偏導(dǎo)數(shù)值，可以先將y0代入二元函數(shù)z=f(x,y)，變?yōu)橐辉瘮?shù)z=f(x,y0)對x求導(dǎo)數(shù)值問題;二元函數(shù)z=f(x,y)在某一點(diǎn)(x0,y0)上

6、對自變量y求偏導(dǎo)數(shù)值，可以先將x0代入二元函數(shù)z=f(x,y)，變?yōu)橐辉瘮?shù)z=f(x0,y)對y求導(dǎo)數(shù)值問題.含有抽象函數(shù)記號的函數(shù)求偏導(dǎo)情況（3）多元函數(shù)可偏導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系“可偏導(dǎo)”未必“連續(xù)”“連續(xù)”未必“可偏導(dǎo)”因?yàn)閷τ谝辉瘮?shù)而言，“連續(xù)”未必“可導(dǎo)”，而一元函數(shù)是二元函數(shù)的特例，故一般而言，連續(xù)的二元函數(shù)未必可偏導(dǎo)。反例如下：偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義得的曲線（4）多元函數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)二元函數(shù)z=f(x,y)關(guān)于x或關(guān)于y的偏導(dǎo)函數(shù)還可以對x和對y求偏導(dǎo)，所得結(jié)果稱為函數(shù)z=f(x,y)的二

7、階偏（導(dǎo)）函數(shù)，分別記為：其中，fxy’’(x,y)和fyx’’(x,y)稱為二元函數(shù)z=f(x,y)的二階混合偏導(dǎo)（函）數(shù)。由此易知，二元初等函數(shù)z=f(x,y)的二階混合偏導(dǎo)（函）數(shù)在其有定義的點(diǎn)(x,y)上總是相等的：fxy’’(x,y)=fyx’’(x,y)。一般而言，有以下的一般性結(jié)論：若二元初等函數(shù)z=f(x,y)的二階混合偏導(dǎo)函數(shù)fxy’’(x,y)和fyx’’(x,y)在點(diǎn)(x,y)上是二元連續(xù)的，則必成立：fxy’’(x,y)=fyx’’(x,y)。對三元以上的多元函數(shù)z=f(

8、x,y)也可以定義其二階及其以上的高階偏導(dǎo)數(shù)。對二元函數(shù)z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)函數(shù)同樣可以討論其偏導(dǎo)數(shù)，所得的結(jié)果稱為二元函數(shù)z=f(x,y)的三階及其以上的高階偏導(dǎo)數(shù)?！?.全微分回顧:能表示成實(shí)際上即二元函數(shù)的可微和全微分定義如果可以表示為事實(shí)上,即證明可微?連續(xù)證同理可得可微?可偏導(dǎo)注：逆定理不成立,即可偏導(dǎo)不一定可微,見下面反例.所以習(xí)慣上，記全微分為多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可偏導(dǎo)（4）多元函數(shù)的全微分計算實(shí)例證略第六節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一、復(fù)