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1、高等數(shù)學第七章空間解析幾何與向量代數(shù)第五節(jié)平面及其方程平面的點法式方程平面的一般方程兩平面的夾角例題平面是最簡單的曲面.平面和三元一次方程一一對應。我們主要掌握平面方程的幾種表達形式，以及平面與平面.點與平面之間的位置關系.10/8/20212天津商學院《高等數(shù)學課程組》引例
2、AM
3、=
4、BM
5、,所以兩邊平方并化簡得2x-6y+2z-7=0ABM這個垂直平分面的方程就是 一個平面方程.設有點A（1，2，3）和B（2，-1，4），求AB的垂直平分面方程.解由題意知，所求平面是與A、B等距離的點的幾何軌跡，設M（x,y,z）為所求平面上的任一點
6、，由于10/8/20213天津商學院《高等數(shù)學課程組》zyOx一.平面的點法式方程nM法線向量n垂直于一平面的非零向量稱作該平面的法線向量，簡稱法向量，記作n.點法式方程的建立已知平面上一點M0及其法向量n，則可以建立該平面的方程.根據(jù)圖示一.平面的點法式方程設M0是平面上一個已知點，M是平面上任意一點，n為平面的法向量.因為向量MM0與法線向量n垂直，則其數(shù)量積為零.即n={A,B,C},于是有：如果已知：Mn這就是平面的點法式方程可將這個三元一次方程整理為Ax+By+Cz+D=0的形式,其中D=-(Ax0+By0+Cz0)圖示10/8
7、/20215天津商學院《高等數(shù)學課程組》例1解10/8/20216天津商學院《高等數(shù)學課程組》例2解10/8/20217天津商學院《高等數(shù)學課程組》二.平面的一般方程任意平面都可以用三元一次方程Ax+By+Cz+D=0來表示；任一三元一次方程Ax+By+Cz+D=0的圖形總是一個平面。方程Ax+By+Cz+D=0（2）稱作平面的一般方程.其中x,y,z的系數(shù)A,B,C就是該平面一個法向量的坐標.該平面法向量為n={A,B,C}.n={A,B,C}zyOxπ例32x-3y+z-6=0zyOx3263x+8y+z-18=0可以改寫成圖示10/
8、8/20219天津商學院《高等數(shù)學課程組》zyOx二.平面的一般方程Ax+By=0,C=0,D=0.zyOxCz+D=0,A=B=0特殊三元一次方程表示圖形特點這個平面平行xOy坐標面這個平面經(jīng)過z軸.10/8/202110天津商學院《高等數(shù)學課程組》二.平面的一般方程zyOxAx+Cz+D=0,B=0特殊三元一次方程表示圖形特點Ax+By+Cz=0,D=0xzyO這個平面平行y軸.這個平面過原點O.O10/8/202111天津商學院《高等數(shù)學課程組》三.平面的截距式方程設一平面與x、y、z軸的交點為P(a,0,0)、Q(0,b,0)、R
9、(0,0,c)其中a≠0、b≠0、c≠0zyOx叫做平面的截距式方程a、b、c叫做平面在x、y、z軸上的截距.PQRabc則該平面方程為四.平面的三點式方程已知平面上三點：P=(a,b,c),Q=(a1,b1,c1),R=(a2,b2,c2),并設M=(x,y,z)，QPRnnM則平面方程為：五.兩平面的夾角兩平面的法向量的夾角稱為兩平面的夾角如下圖中的角θ.設平面Π1的法向量為n1={A1,B1,C1}設平面Π2的法向量為n2={A2,B2,C2}由cosθ=
10、cos(n1,^n2)
11、則兩平面的夾角θ可由兩個向量夾角公式來確定.θΠ1Π
12、2n2n1θ四.兩平面的夾角其中平面Π1的法向量為n1={A1,B1,C1}平面Π2的法向量為n2={A2,B2,C2}θΠ1Π2n2n1θ兩個結論：結論一平面Π1與平面Π2互相垂直相當于：Π1Π2n2n1因為兩個法向量相互垂直所以其數(shù)量積為零圖示兩個結論：結論二平面Π1與平面Π2互相平行或重合相當于:Π1Π2n2n1這時兩個平面的法向量相互平行圖示六.點到平面的距離已知:平面Π1的法向量為n1={A,B,C}平面Π1外一點P0={x0,y0,z0}證明：P0到平面Π1的距離為Π1P0n1P1N證明思路：:平面Π1上取點P1={x1,y1
13、,z1}則所求距離等于向量在法向量上n1的投影.即學生自己推導例4解將三點坐標分別代入平面一般方程Ax+By+Cz+D=0,得zyOxCABA+B-C+D=0(1)-2A-2B+2C+D=0(2)A-B+2C+D=0(3)解此聯(lián)立方程組，得A=1,B=-3,C=-2,D=0.x-3y-2z=0為所求平面方程.方法一求過三點A（1，1，-1）,B（-2，-2，2），C（1，-1，2）的平面方程.例4解作向量并求其向量積,得zyOxCAB因為該向量垂直平面可取n={-3,9,6}不妨取點A(1,1,-1),可得點法式方程：x-3y-2z=0為
14、所求平面方程.方法二求過三點A（1，1，-1）,B（-2，-2，2），C（1，-1，2）的平面方程.例5指出下列各平面的特殊 位置，并畫出各平面：（1）.x=0，y=0,z=0.zyOx即坐標
