多元函數(shù)微積分(II)

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1、第二節(jié)多元函數(shù)積分一、二重積分二、曲線積分一、二重積分1.二重積分的概念與性質(zhì)1）二重積分的概念（1）曲頂柱體的體積柱體體積=底面積*高特點：平頂.柱體體積=？特點：曲頂.曲頂柱體求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．步驟如下：用若干個小平頂柱體體積之和近似表示曲頂柱體的體積，先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，曲頂柱體的體積（2）求平面薄片的質(zhì)量將薄片分割成若干小塊，取典型小塊，將其近似看作均勻薄片，所有小塊質(zhì)量之和近似等于薄片總質(zhì)量2）二重積分的定義對二重積分定義的說明：二重積分的幾何意義當(dāng)被積

2、函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積．當(dāng)被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體的體積的負(fù)值．3）二重積分的性質(zhì)性質(zhì)１設(shè)k為常數(shù)，性質(zhì)2性質(zhì)3若積分區(qū)域D由D1,D2組成(其中D1與D2除邊界外無公共點),則性質(zhì)4性質(zhì)5設(shè)M,m是函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上的最大值與最小值,?是D的面積,則2.二重積分的計算1）利用直角坐標(biāo)計算二重積分如果積分區(qū)域為：［X－型］其中函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù).應(yīng)用計算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法得如果積分區(qū)域為：［Y－型］X型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.Y型

3、區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.若區(qū)域如圖，則必須分割.在分割后的三個區(qū)域上分別使用積分公式2）極坐標(biāo)下二重積分的計算設(shè)有極坐標(biāo)系下的積分區(qū)域D,用一組以極點為圓心的同心圓(r=常數(shù))及過極點的一組射線(?=常數(shù))將區(qū)域D分割成n個小區(qū)域.平面上的點的直角坐標(biāo)(x,y)與該點的極坐標(biāo)(r,?)之間的關(guān)系：x=rcos?,y=rsin?，(1)若極點O在區(qū)域D*之外,且D*由射線?=?,?=?和兩條連續(xù)曲線r=r1(?)，r=r2(?)圍成．(2)若r1(?)=0,即極點O在區(qū)域D*的邊界上

4、,且D*由射線?=?,?=?和連續(xù)曲線r=r(?)圍成．(3)若極點O在區(qū)域D*內(nèi),且D*的邊界曲線為連續(xù)封閉曲線r=r(?)(0???2?)．3.二重積分應(yīng)用舉例例1例2二、曲線積分1.對弧長的曲線積分1）概念令??max{?s1??s2??????sn}?0?則整個曲線形構(gòu)件的質(zhì)量為整個曲線形構(gòu)件的質(zhì)量近似為設(shè)曲線形構(gòu)件所占的位置在xOy面內(nèi)的一段曲線弧L上?已知曲線形構(gòu)件在點(x?y)處的線密度為?(x?y)?把曲線弧L分成n個小段??s1??s2??????sn(?si也表示弧長)?任取(?i??i)??si?得第i

5、小段質(zhì)量的近似值?(?i??i)?si?曲線形構(gòu)件的質(zhì)量將L任意分成n個小弧段??s1??s2??????sn(?si也表示第i個小弧段的長度)?在每個小弧段?si上任取一點(?i??i)?作和定義設(shè)L為xOy面內(nèi)的一條光滑曲線弧?函數(shù)f(x?y)在L上有界?如果當(dāng)??max{?s1??s2??????sn}?0時?這和的極限總存在?則稱此極限為函數(shù)f(x?y)在曲線弧L上對弧長的曲線積分?記作其中f(x?y)叫做被積函數(shù)?L叫做積分弧段?說明?當(dāng)函數(shù)f(x?y)在光滑曲線弧L上連續(xù)時?函數(shù)f(x?y)在曲線弧L上對弧長的曲

6、線積分是存在的?以后我們總假定f(x?y)在L上是連續(xù)的?對弧長的曲線積分也稱為第一類曲線積分?曲線形構(gòu)件的質(zhì)量就是曲線積分的值?類似地可以定義函數(shù)f(x?y?z)在空間曲線弧?上對弧長的曲線積分?如果L(或?)是分段光滑的?則規(guī)定函數(shù)在L(或?)上的曲線積分等于函數(shù)在光滑的各段上的曲線積分的和?例如?設(shè)L可分成兩段光滑曲線弧L1及L2?則規(guī)定函數(shù)f(x?y)在閉曲線L上對弧長的曲線積分記作?2）性質(zhì)性質(zhì)1設(shè)c1、c2為常數(shù)?則性質(zhì)2若積分弧段L可分成兩段光滑曲線弧L1和L2?則3）對弧長的曲線積分的計算法（1）設(shè)曲線L的參

7、數(shù)方程為x??(t)?y??(t)(??t??)?則B(1?1)之間的一段弧?曲線L的參數(shù)方程為x?x?y?x2(0?x?1)?因此解例1計算dsyLò,其中L是拋物線y=x2上點O(0,0)與點x?acost、y?asint、z?kt上相應(yīng)于t從0到達(dá)2?的一段弧?解在曲線?上有并且x2?y2?z2?(acost)2?(asint)2?(kt)2?a2?k2t2?例2計算曲線積分dszyx)(222++òG,其中G為螺旋線2.對坐標(biāo)的曲線積分質(zhì)點在變力F(x?y)?P(x?y)i?Q(x?y)j的作用下從點A沿光滑曲線弧L

8、移動到點B?求變力F(x?y)所作的功?提示?把L分成n個小弧段?L1?L2?????Ln?求功的過程?變力在L上所作的功的精確值為?其中?是各小弧段長度的最大值?F在Li上所作的功Wi?F(?i??i)??si?P(?i??i)?xi?Q(?i??i)?yi,[]1）概念設(shè)函數(shù)P(x?y