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1、多元函數(shù)微積分多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)微分學(xué)隱函數(shù)定理及其應(yīng)用含參量積分曲線積分重積分曲面積分第16章多元函數(shù)的極限與連續(xù)§1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)（了解平面點(diǎn)集的有關(guān)概念、平面上的完備性定理、多元函數(shù)的概念）一、平面點(diǎn)集坐標(biāo)平面……平面點(diǎn)集E={(x,y)
2、(x,y)滿足的條件}鄰域U(A,δ)={(x,y)
3、(x-x0)2+(y-y0)2<δ2}U(A,δ)={(x,y)
4、
5、x-x0
6、<δ,
7、y-y0
8、<δ}空心鄰域U0(A,δ)={(x,y)
9、0<(x-x0)2+(y-y0)2<δ2}U(
10、A,δ)={(x,y)
11、
12、x-x0
13、<δ,
14、y-y0
15、<δ,(x,y)≠(x0,y0)}（一）下面利用鄰域描述點(diǎn)和點(diǎn)集的關(guān)系(ⅰ)內(nèi)點(diǎn)?U(A)?E(ⅱ)外點(diǎn)?U(A)?E=?(ⅲ)界點(diǎn)?U(A)?E≠?且?U(A)?EC≠?點(diǎn)A∈R2和點(diǎn)集E?R2必有以下三種關(guān)系之一：?若對點(diǎn)P的任一鄰域U(P)既含E中的內(nèi)點(diǎn)也含E則稱P為E的邊界點(diǎn).的外點(diǎn),顯然,E的內(nèi)點(diǎn)必屬于E,E的外點(diǎn)必不屬于E,E的邊界點(diǎn)可能屬于E,也可能不屬于E.?E的邊界點(diǎn)的全體稱為E的邊界,記作?E;(ⅰ)聚點(diǎn)?U0(A)?E≠
16、?點(diǎn)A近旁是否有點(diǎn)集E中無窮多點(diǎn)構(gòu)成另一種關(guān)系：聚點(diǎn)可以屬于E,也可以不屬于E(因?yàn)榫埸c(diǎn)可以為E的邊界點(diǎn))(ⅱ)孤立點(diǎn)A∈E且?U0(A)?E=?練習(xí)1:問A是E的內(nèi)點(diǎn)?外點(diǎn)?(1)設(shè)問(2)設(shè)是E的聚點(diǎn)?孤立點(diǎn)?呢?（二）一些重要的平面點(diǎn)集閉集E的所有聚點(diǎn)∈E開域連通的開集閉域開域連同邊界開集intE=E有界點(diǎn)集、無界點(diǎn)集點(diǎn)集的直徑三角不等式區(qū)域開域、閉域，或開域連同部分邊界練習(xí)2:則原點(diǎn)是K的點(diǎn)(1)設(shè)孤立點(diǎn)、界點(diǎn)，但不是聚；圓周上的點(diǎn)是K的點(diǎn)界點(diǎn)、聚，但不屬于K；K是開域、是閉域，有界集。
17、不也不是(2)求下列平面點(diǎn)集的聚點(diǎn)集合二、R2上的完備性定理R2上的完備性定理是二元函數(shù)極限理論的基礎(chǔ)。為此，先給出平面點(diǎn)列的收斂性概念。定義1設(shè)為平面點(diǎn)列，為一固定點(diǎn).若使當(dāng)時(shí)，有則稱點(diǎn)列收斂于記作或點(diǎn)列極限的兩種等價(jià)形式：定理16.1(柯西準(zhǔn)則)平面點(diǎn)列收斂的充要條件是：使當(dāng)時(shí)，對一切有定理16.2(閉域套定理)設(shè)是中的閉域列，滿足則存在唯一的點(diǎn)課堂練習(xí)：P92:1(1)(3)(6)作業(yè)：P92:1(7),3,5定理16.3(聚點(diǎn)定理)設(shè)為有界無限點(diǎn)集，則在中至少有一個(gè)聚點(diǎn)。推論有界無限點(diǎn)列
18、必存在收斂子列定理16.4(有限覆蓋定理)設(shè)為一有界閉域，為一開域族，它覆蓋了(即),則在中必存在有限個(gè)開域它們同樣覆蓋了(即)。推廣：將定理16.4中的改為有界閉集，而為一族開集，此時(shí)定理依然成立。三、二元函數(shù)定義2設(shè)平面點(diǎn)集若按照某種對應(yīng)法則中每一點(diǎn)都有唯一確定的實(shí)數(shù)為定義在上的二元函數(shù)，記作為與之對應(yīng)，則稱的定義域,…函數(shù)值,…值域,…自變量,…因變量。為方便計(jì)，二元函數(shù)也記作或便是二元函數(shù)三維歐氏空間中的點(diǎn)集的圖像。例2例3例4例5若二元函數(shù)的值域是有界數(shù)集，則稱該函數(shù)為有界函數(shù)。否則稱
19、為無界函數(shù)。練習(xí)3:描繪下列函數(shù)圖象四、n元函數(shù)設(shè)點(diǎn)集若按照某種對應(yīng)法則使每一點(diǎn)都有唯一確定的實(shí)數(shù)為定義在上的n元函數(shù)，記作與之對應(yīng)，則稱n元函數(shù)也記作或課堂練習(xí)：P92:4,6(1)(3);P93:8(1)(4)(7)作業(yè)：P93:8(5)(10)小結(jié)：1、掌握平面點(diǎn)集的有關(guān)概念；2、了解平面上的完備性定理；3、了解多元函數(shù)的概念。§2二元函數(shù)的極限一、二元函數(shù)的極限定義1設(shè)為定義在為的一個(gè)聚點(diǎn)，是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).若上的二元函數(shù)，使當(dāng)時(shí)，都有則稱在時(shí)，以上當(dāng)為極限，記作在對于不致產(chǎn)生誤解時(shí)，也
20、可簡單地記作或例1依定義驗(yàn)證證明例2設(shè)下面的定理及其推論相當(dāng)于數(shù)列極限的子列定理與一元函數(shù)極限的海涅歸納原則，證法也類似。的聚點(diǎn)，就有只要定理16.5是不存在，則推論1設(shè)是的聚點(diǎn)，若也不存在。但推論2設(shè)是的聚點(diǎn)，若存在極限也不存在。則所對應(yīng)的函數(shù)列推論3且存在都收斂。例3討論時(shí)是否存在極限。當(dāng)例4討論時(shí)是否存在極限。當(dāng)定義2設(shè)為定義在為的一個(gè)聚點(diǎn)。若上的二元函數(shù)，使當(dāng)時(shí)，都有則稱在時(shí)，存在上當(dāng)非正常極限，記作或類似地可以定義和例5設(shè)證明二元函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則和相應(yīng)定理仍成立。例如，課堂練習(xí)：
21、P99:1(1)(2)(3)二、累次極限在上段所研究的中，兩個(gè)自變量同時(shí)以任何方式趨于這種極限也稱為重極限。在這段里，我們考察以一定的先后順序相繼趨于時(shí)的極限，這種極限也稱為累次極限。定義3設(shè)的聚點(diǎn)，二元函數(shù)在上有定義。若是存在極限，記作的聚點(diǎn)，是而進(jìn)一步存在極限則稱此極限為先對后對的累次極限,記作或簡記作類似地可定義先對后對的累次極限例7設(shè)討論在原點(diǎn)的重極限和累次極限。例8設(shè)討論在原點(diǎn)的重極限和累次極限。重極限和累次極限是兩個(gè)不同的概念，它們的存在性沒有必然的聯(lián)系。例如：重極限和累次極限在一定
