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1、多元函數(shù)微積分多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)微分學隱函數(shù)定理及其應用含參量積分曲線積分重積分曲面積分第16章多元函數(shù)的極限與連續(xù)§1平面點集與多元函數(shù)（了解平面點集的有關概念、平面上的完備性定理、多元函數(shù)的概念）一、平面點集坐標平面……平面點集E={(x,y)
2、(x,y)滿足的條件}鄰域U(A,δ)={(x,y)
3、(x-x0)2+(y-y0)2<δ2}U(A,δ)={(x,y)
4、
5、x-x0
6、<δ,
7、y-y0
8、<δ}空心鄰域U0(A,δ)={(x,y)
9、0<(x-x0)2+(y-y0)2<δ2}U(A,δ)={(x,y)
10、
11、x-x0
12、<δ,
13、y-y0
14、<δ,
15、(x,y)≠(x0,y0)}（一）下面利用鄰域描述點和點集的關系(ⅰ)內點?U(A)?E(ⅱ)外點?U(A)?E=?(ⅲ)界點?U(A)?E≠?且?U(A)?EC≠?點A∈R2和點集E?R2必有以下三種關系之一：?若對點P的任一鄰域U(P)既含E中的內點也含E則稱P為E的邊界點.的外點,顯然,E的內點必屬于E,E的外點必不屬于E,E的邊界點可能屬于E,也可能不屬于E.?E的邊界點的全體稱為E的邊界,記作?E;(ⅰ)聚點?U0(A)?E≠?點A近旁是否有點集E中無窮多點構成另一種關系：聚點可以屬于E,也可以不屬于E(因為聚點可以為E的邊界點)(ⅱ)孤立點A
16、∈E且?U0(A)?E=?練習1:問A是E的內點?外點?(1)設問(2)設是E的聚點?孤立點?呢?（二）一些重要的平面點集閉集E的所有聚點∈E開域連通的開集閉域開域連同邊界開集intE=E有界點集、無界點集點集的直徑三角不等式區(qū)域開域、閉域，或開域連同部分邊界練習2:則原點是K的點(1)設孤立點、界點，但不是聚；圓周上的點是K的點界點、聚，但不屬于K；K是開域、是閉域，有界集。不也不是(2)求下列平面點集的聚點集合二、R2上的完備性定理R2上的完備性定理是二元函數(shù)極限理論的基礎。為此，先給出平面點列的收斂性概念。定義1設為平面點列，為一固定點.若使當時，
17、有則稱點列收斂于記作或點列極限的兩種等價形式：定理16.1(柯西準則)平面點列收斂的充要條件是：使當時，對一切有定理16.2(閉域套定理)設是中的閉域列，滿足則存在唯一的點課堂練習：P92:1(1)(3)(6)作業(yè)：P92:1(7),3,5定理16.3(聚點定理)設為有界無限點集，則在中至少有一個聚點。推論有界無限點列必存在收斂子列定理16.4(有限覆蓋定理)設為一有界閉域，為一開域族，它覆蓋了(即),則在中必存在有限個開域它們同樣覆蓋了(即)。推廣：將定理16.4中的改為有界閉集，而為一族開集，此時定理依然成立。三、二元函數(shù)定義2設平面點集若按照某種對
18、應法則中每一點都有唯一確定的實數(shù)為定義在上的二元函數(shù)，記作為與之對應，則稱的定義域,…函數(shù)值,…值域,…自變量,…因變量。為方便計，二元函數(shù)也記作或便是二元函數(shù)三維歐氏空間中的點集的圖像。例2例3例4例5若二元函數(shù)的值域是有界數(shù)集，則稱該函數(shù)為有界函數(shù)。否則稱為無界函數(shù)。練習3:描繪下列函數(shù)圖象四、n元函數(shù)設點集若按照某種對應法則使每一點都有唯一確定的實數(shù)為定義在上的n元函數(shù)，記作與之對應，則稱n元函數(shù)也記作或課堂練習：P92:4,6(1)(3);P93:8(1)(4)(7)作業(yè)：P93:8(5)(10)小結：1、掌握平面點集的有關概念；2、了解平面上的
19、完備性定理；3、了解多元函數(shù)的概念?！?二元函數(shù)的極限一、二元函數(shù)的極限定義1設為定義在為的一個聚點，是一個確定的實數(shù).若上的二元函數(shù)，使當時，都有則稱在時，以上當為極限，記作在對于不致產生誤解時，也可簡單地記作或例1依定義驗證證明例2設下面的定理及其推論相當于數(shù)列極限的子列定理與一元函數(shù)極限的海涅歸納原則，證法也類似。的聚點，就有只要定理16.5是不存在，則推論1設是的聚點，若也不存在。但推論2設是的聚點，若存在極限也不存在。則所對應的函數(shù)列推論3且存在都收斂。例3討論時是否存在極限。當例4討論時是否存在極限。當定義2設為定義在為的一個聚點。若上的二元
20、函數(shù)，使當時，都有則稱在時，存在上當非正常極限，記作或類似地可以定義和例5設證明二元函數(shù)極限的四則運算法則和相應定理仍成立。例如，課堂練習：P99:1(1)(2)(3)二、累次極限在上段所研究的中，兩個自變量同時以任何方式趨于這種極限也稱為重極限。在這段里，我們考察以一定的先后順序相繼趨于時的極限，這種極限也稱為累次極限。定義3設的聚點，二元函數(shù)在上有定義。若是存在極限，記作的聚點，是而進一步存在極限則稱此極限為先對后對的累次極限,記作或簡記作類似地可定義先對后對的累次極限例7設討論在原點的重極限和累次極限。例8設討論在原點的重極限和累次極限。重極限和累
21、次極限是兩個不同的概念，它們的存在性沒有必然的聯(lián)系。例如：重極限和累次極限在一定
