多元函數(shù)的微積分.ppt

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1、6.2多元函數(shù)的微積分主要內(nèi)容：一.多元函數(shù)的概念二.二元函數(shù)的極限和連續(xù)三.偏導(dǎo)數(shù)的概念及簡單計算四.全微分五.空間曲線的切線與法平面六.曲面的切平面與法線七.多元函數(shù)的極值1設(shè)D是平面上的一個點集．如果對于每個點P(x，y)?D，變量z按照一定法則總有確定的值和它對應(yīng)，則稱z是變量x、y的二元函數(shù)(或點P的函數(shù))，記為z=f(x，y)(或z=f(P))二元函數(shù)的定義：其中D稱為定義域，x，y稱為自變量，z稱為因變量．類似地可定義三元及三元以上函數(shù)．當(dāng)自變量的個數(shù)多于一個時,函數(shù)稱為多元函數(shù)一.多元函數(shù)的概念2二元函數(shù)的圖形

2、：二元函數(shù)的圖形是一張曲面．例z=ax+by+c是一張平面，xyzOx0y0M0點集{(x，y，z)

3、z=f(x，y)，(x，y)?D}稱為二元函數(shù)z?f(x，y)的圖形．3由方程x2?y2?z2?a2確定的函數(shù)z=f(x，y)有兩個：由方程x2?y2?z2?a2確定的函數(shù)z=f(x，y)是中心在原點，它的定義域為D={(x，y)

4、x2?y2?a2}．Oxy半徑為a的球面．4二.二元函數(shù)的極限和連續(xù)1.二元函數(shù)的極限設(shè)函數(shù)f(x，y)在開區(qū)域(或閉區(qū)域)D內(nèi)有定義，P0(x0，y0)是D的內(nèi)點或邊界點．如果對于任意給定的正數(shù)e

5、總存在正數(shù)d，使得對于適合不等式都有

6、f(x，y)?A

7、

8、PP0

9、．我們把上述二元函數(shù)的極限叫做二重極限定義的一切點P(x，y)?D，5(1)二重極限存在，是指P以任何方式趨于P0時，函數(shù)都無限接近于A.例當(dāng)點P(x，y)沿x軸、y軸趨于點(0，0)時函數(shù)的極限為零，當(dāng)點P(x，y)沿直線y=kx趨于點(0，0)時注意：(2)如果當(dāng)P以兩種不同方式趨于P0時，函數(shù)趨于不同的值，則函數(shù)的極限不存在．67則稱函數(shù)f(x，y)在點P0(x0，y0)連續(xù)．

10、定義：設(shè)函數(shù)f(x,y)在開區(qū)域(或閉區(qū)域)D內(nèi)有定義,P0(x0,y0)?D．函數(shù)f(x，y)在區(qū)域(開區(qū)域或閉區(qū)域)D內(nèi)連續(xù)：是指函數(shù)f(x，y)在D內(nèi)每一點連續(xù)．此時稱f(x，y)是D內(nèi)的連續(xù)函數(shù)．二元函數(shù)的連續(xù)性概念可相應(yīng)地推廣到n元函數(shù)f(P)上去．2.二元函數(shù)的連續(xù)性如果8所以函數(shù)在原點不連續(xù).例４函數(shù)　　　　　　　　　　　　　　　　在單位圓上各點是否連續(xù)？解：如果函數(shù)在單位圓上任何點都連續(xù)若　　　在單位圓上任何點都不連續(xù)9設(shè)函數(shù)z?f(x，y)在點(x0，y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在y0而x在x0處有增量

11、?x時，相應(yīng)地函數(shù)有增量f(x0??x，y0)?f(x0，y0)，（１）如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)z?f(x，y)在點(x0，y0)處對x的偏導(dǎo)數(shù)，記作定義偏導(dǎo)數(shù)的概念及簡單計算1.偏導(dǎo)數(shù)的概念：10記作（２）如果極限則稱此極限為函數(shù)z?f(x，y)在點(x0，y0)處對y的偏導(dǎo)數(shù)，存在，11對自變量的偏導(dǎo)函數(shù)，記作偏導(dǎo)函數(shù)：如果函數(shù)z?f(x，y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(x，y)處對x的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個偏導(dǎo)數(shù)就是x、y的函數(shù)，它就稱為函數(shù)z?f(x，y)類似地，可定義函數(shù)z?f(x，y)在點(x0，y0)處對y的偏導(dǎo)函數(shù)

12、，記為偏導(dǎo)數(shù)與偏導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系：122.一階偏導(dǎo)數(shù)的計算注意：看成二者之商.13例3求z?x2?3xy?y2在點(1，2)處的偏導(dǎo)數(shù)．解143.二階偏導(dǎo)數(shù)的計算按照對變量求導(dǎo)次序的不同有下列四個二階偏導(dǎo)數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)z?f(x，y)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)那么在D內(nèi)fx(x，y)、fy(x，y)都是x，y的函數(shù)．如果這兩個函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也存在,則稱它們是函數(shù)z?f(x，y)的二偏導(dǎo)數(shù)．15二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)．其中稱為混合偏導(dǎo)數(shù)．同樣可得三階、四階以及n階偏導(dǎo)數(shù)．高階偏導(dǎo)數(shù):16解17在對x求導(dǎo)就有得證.18設(shè)

13、z?f(u，v)，而u?j(x，y)，v?y(x，y)，則復(fù)合函數(shù)4.復(fù)合函數(shù)的微分法(鏈式法則)z?f[j(x，y)，y(x，y)]的偏導(dǎo)數(shù)為：1920四.全微分全增量：?z?f(x??x，y??y)?f(x，y)稱為函數(shù)在點P(x，y)對自變量增量?x、?y的全增量．全微分的定義：如果函數(shù)z?f(x，y)在點(x，y)的全增量21記作dz或df(x,y),即或可微:當(dāng)函數(shù)z=f(x,y)在(x,y)全微分存在時,稱z=f(x,y)在(x,y)可微.當(dāng)函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D的每一點都可微時,稱z=f(x,y)在區(qū)域D可

14、微.22定理1函數(shù)z=f(x,y)在其一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)時一定可微.定理2函數(shù)z=f(x,y))在可微點連續(xù).定理1和定理2的結(jié)論可推廣到三元及三元以上函數(shù)連續(xù)，則它可微,且其全微分為．23解由定義知所以得24解因為所以25五．空間曲線的切線與法平面定義:設(shè)在空間曲線上有一個定點