《多元函數(shù)的微積分》PPT課件.ppt

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1、第6章多元函數(shù)微積分第1節(jié)多元函數(shù)的概念第2節(jié)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分第3節(jié)多元復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則第4節(jié)多元函數(shù)微分法的應(yīng)用第5節(jié)二重積分的概念第6節(jié)二重積分的計算第7節(jié)二重積分的應(yīng)用§6.1多元函數(shù)的概念二元函數(shù)的定義二元函數(shù)的幾何意義二元函數(shù)的極限二元函數(shù)的連續(xù)性小結(jié)思考與練習(xí)定義1的函數(shù)值，函數(shù)值的總體稱為函數(shù)的值域。類似地，可定義三元函數(shù)及其他多元函數(shù)。二元函數(shù)的定義例１例2一個有火爐的房間內(nèi),在同一時刻的溫度分布唯一的溫度類似的例子還可舉出很多,今后我們主要研究二元函數(shù)。一般地講，

2、二元函數(shù)的幾何意義表示空間直角坐標(biāo)系中的一個曲面。二元函數(shù)的幾何意義（2）二元函數(shù)z=f(x,y)的圖形——通常是一張曲面（函數(shù)曲面）.二元函數(shù)的極限小結(jié)：（１）（２）例３求證證明由于平面上由一點到另一點有無數(shù)條路線，因此二元函數(shù)性質(zhì)１（最大值和最小值定理）二元函數(shù)的連續(xù)性性質(zhì)３（零點定理）性質(zhì)４（有界性定理）性質(zhì)２（介值定理）例４設(shè)解因此小結(jié)：一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的．所謂定義區(qū)域，是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域．由多元初等函數(shù)的連續(xù)性，如果要求它在點思考題:一元函數(shù)連續(xù)和二元函數(shù)

3、連續(xù)的區(qū)別與聯(lián)系?！?.2多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分偏導(dǎo)數(shù)的概念偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系小結(jié)思考與練習(xí)高階偏導(dǎo)數(shù)全微分的概念和應(yīng)用（未做）偏導(dǎo)數(shù)的概念同理,如果極限導(dǎo)數(shù),記作偏導(dǎo)函數(shù),簡稱偏導(dǎo)數(shù),記作解根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的定義可知,求多元函數(shù)關(guān)于某個自變量的偏導(dǎo)數(shù),并不需要新的方法,只需將其他自變量看作常數(shù),僅對一個自變量求導(dǎo),因此,一元函數(shù)的求導(dǎo)法則和求導(dǎo)公式,對求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍然適用.例1例2解所以例3解意義.偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義如下圖所示例如偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系注:偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的區(qū)別(1)偏

4、導(dǎo)數(shù)存在，不一定連續(xù)；(2)連續(xù)，不一定存在偏導(dǎo)數(shù)；高階偏導(dǎo)數(shù)可定義為相應(yīng)低一階偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).例如設(shè)一般來說,這兩個偏導(dǎo)數(shù)還是可定義二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)如下高階偏導(dǎo)數(shù)例4解二階以上的偏導(dǎo)數(shù)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)例5解上述例子中二階混合偏導(dǎo)數(shù)都是相等的,但對許多二元函數(shù)來說,它們的二階混合偏導(dǎo)數(shù)并不相等,也就是說兩者相等是要有條件的.為此,給出下面的定理:定理6.1相等.例6解因為所以小結(jié)：在二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的情況下，混合偏導(dǎo)數(shù)的最終值和求導(dǎo)次序無關(guān)?！?.3多元函數(shù)復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求

5、導(dǎo)法則隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求法小結(jié)思考與練習(xí)定理6.5多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則證明所以有完全類似地可以證明第二個等式。下面再介紹一特殊情形。另外，對于自變量或中間變量多于兩個的情形，也有類似則（1）搞清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系；（2）對某個自變量求偏導(dǎo)數(shù)，應(yīng)注意要經(jīng)過一切有關(guān)的中間變量而歸結(jié)到該自變量。例1解注意：例2解隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求法同理可證定理6.6（隱函數(shù)存在定理）并有注意例3解例4解應(yīng)用上面公式，得§6.4多元函數(shù)微分法的應(yīng)用在幾何上的應(yīng)用二元函數(shù)極值的求法小結(jié)思考與練習(xí)1.空間曲線的切線與法平面在幾何上的應(yīng)

6、用即例1解于是，切線方程為法平面方程為2.曲面的切平面方程與法線方程為例2解或法線方程為1、二元函數(shù)的極值二元函數(shù)的極值問題，一般可以利用偏導(dǎo)數(shù)來解決。定理6.7(極值存在必要條件)使二元函數(shù)極值的求法定理6.8（極值存在充分條件）令第一步第二步第三步例3解（1）求駐點解方程組（2）判斷駐點是否極值點，若是，說明取得極值情況又由于2.條件極值與拉格朗日乘數(shù)法在前面所討論的極值中，除對自變量給出定義域外，并無其它條件限制，我們把這一類極值稱為無條件極值，而把對自變量還需附加其他條件的極值問題稱為條件極

7、值。條件條件極值問題有如下兩種解法。方法1例4解由一元函數(shù)極值存在的必要條件，得所以方法2（拉格朗日數(shù)乘法）這方法還可以推廣到自變量多于兩個而條件多于一個的情形。至于如何確定所求得的點是否為極值點，是極大值點還是極小值點，在實際問題中往往可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判定。例5解作輔助函數(shù)令由前三式，得即當(dāng)長方體的長、寬、高相等時，長方體的體積最大。注:求二元函數(shù)極值的方法(1)換元法。(2)拉格朗日數(shù)乘法。