《多元函數(shù)微積分》word版

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1、第六章多元函數(shù)微積分教學(xué)重點：本章重點講授多元函數(shù)的基本概念、偏導(dǎo)、全微分、復(fù)合函數(shù)微分法與隱函數(shù)微分法、多元函數(shù)的極值及其求法、二重積分的計算。教學(xué)難點：本章難點為復(fù)合函數(shù)微分法與隱函數(shù)微分法、多元函數(shù)極值的求法、二重積分的計算。教學(xué)內(nèi)容：在前面幾章中，我們討論的函數(shù)都只有一個自變量，這種函數(shù)稱為一元函數(shù).但在許多實際問題中，我們往往要考慮多個變量之間的關(guān)系，反映到數(shù)學(xué)上，就是要考慮一個變量（因變量）與另外多個變量（自變量）的相互依賴關(guān)系.由此引入了多元函數(shù)以及多元函數(shù)的微積分問題.本章將在一元函數(shù)微積分學(xué)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步討論多元函數(shù)的微積分學(xué).討論中將以二元函數(shù)為主要對象

2、，這不僅因為有關(guān)的概念和方法大都有比較直觀的解釋，便于理解，而且這些概念和方法大都能自然推廣到二元以上的多元函數(shù).第1次課　　2學(xué)時本次課教學(xué)重點：空間直角坐標(biāo)系、空間兩點間的距離、曲面及其方程。本次課教學(xué)難點：曲面及其方程本次課教學(xué)內(nèi)容：第六章多元函數(shù)微積分第一節(jié)空間解析幾何簡介空間解析幾何的產(chǎn)生是數(shù)學(xué)史上一個劃時代的成就.它通過點和坐標(biāo)的對應(yīng)，把數(shù)學(xué)研究的兩個基本對象“數(shù)”和“形”統(tǒng)一起來，使得人們既可以用代數(shù)方法研究解決幾何問題（這是解析幾何的基本內(nèi)容），也可以用幾何方法解決代數(shù)問題.本節(jié)我們僅簡單介紹空間解析幾何的一些基本概念，它們包括空間直角坐標(biāo)系、空間兩點間的距離

3、、空間曲面及其方程等概念.這些內(nèi)容對我們學(xué)習(xí)多元函數(shù)的微分學(xué)和積分學(xué)將起到重要的作用.一、空間直角坐標(biāo)系在平面解析幾何中，我們建立了平面直角坐標(biāo)系，并通過平面直角坐標(biāo)系，把平面上的點與有序數(shù)組(即點的坐標(biāo))對應(yīng)起來.同樣，為了把空間的任一點與有序數(shù)組對應(yīng)起來，我們來建立空間直角坐標(biāo)系.過空間一定點O,作三條相互垂直的數(shù)軸，依次記為軸（橫軸）、軸（縱軸）、軸（豎軸），統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸.它們構(gòu)成一個空間直角坐標(biāo)系（如下圖）.空間直角坐標(biāo)系有右手系和左手系兩種.我們通常采用右手系.第六章　多元函數(shù)微積分　　　　　第43頁共43頁二、空間兩點間的距離三、曲面及其方程定義1　在空間直角坐標(biāo)

4、系中，如果曲面上任一點坐標(biāo)都滿足方程，而不在曲面S上的任何點的坐標(biāo)都不滿足該方程，則方程稱為曲面S的方程,而曲面S就稱為方程的圖形第六章　多元函數(shù)微積分　　　　　第43頁共43頁空間曲面研究的兩個基本問題是:(1)已知曲面上的點所滿足的幾何條件，建立曲面的方程;(2)已知曲面方程，研究曲面的幾何形狀.平面平面是空間中最簡單而且最重要的曲面.可以證明空間中任一平面都可以用三元一次方程(1.3)來表示，反之亦然.其中、、、是不全為零常數(shù).方程(1.3)稱為平面的一般方程.柱面定義2平行于某定直線并沿定曲線C移動的直線所形成的軌跡稱為柱面.這條定曲線C稱為柱面的準(zhǔn)線,動直線稱為柱面

5、的母線.二次曲面在空間直角坐標(biāo)系中，我們采用一系列平行于坐標(biāo)面的平面去截割曲面，從而得到平面與曲面一系列的交線（即截痕），通過綜合分析這些截痕的形狀和性質(zhì)來認(rèn)識曲面形狀的全貌.這種研究曲面的方法稱為平面截割法，簡稱為截痕法.橢球面(1.4)橢圓拋物面（）雙曲拋物面(與同號)單葉雙曲面雙葉雙曲面二次錐面例3．建立球心在點、半徑為R的球面方程.解：設(shè)是球面上任意一點，根據(jù)題意有特別地，當(dāng)球心在原點時，球面方程變?yōu)椋旱诹隆《嘣瘮?shù)微積分　　　　　第43頁共43頁例4．求通過軸和點的平面方程.解：依題意，因為所求平面通過軸，即平面平行于軸且通過坐標(biāo)原點，從而可設(shè)方程為：　　　　　　

6、　　　　　　　　（1）又因為平面過點，因此有即　　　　　　以此代入方程（1），再除以，便得到所求方程為例5．設(shè)平面在坐標(biāo)軸上的截距分別為求這個平面的方程.解：由已知條件得到所求平面方程為教學(xué)組織：課后留十分鐘給學(xué)生問問題，解決學(xué)生提出來的難題。作業(yè)布置：1、習(xí)題6-1　　第7、8、18、19題。本次課推薦和參考文獻(xiàn)1、夏建業(yè)，《微積分》，蘭州大學(xué)出版社，2004年2、趙樹嫄，《微積分》，中國人民大學(xué)出版社，2004年3、馬志敏，《高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)》，中山大學(xué)出版社，2004年課后自我總結(jié)分析：理論和實例講解結(jié)合較好，深入淺出，學(xué)生較容易理解、掌握。第2次課2學(xué)時本次課教學(xué)重點：平

7、面區(qū)域的概念、多元函數(shù)的概念、二元函數(shù)的極限本次課教學(xué)難點：二元函數(shù)的極限本次課教學(xué)內(nèi)容：第六章多元函數(shù)微積分第二節(jié)多元函數(shù)的基本概念一、多元函數(shù)的概念（1）鄰域第六章　多元函數(shù)微積分　　　　　第43頁共43頁（2）區(qū)域第六章　多元函數(shù)微積分　　　　　第43頁共43頁二、多元函數(shù)的概念定義1設(shè)D是平面上的一個非空點集，如果對于內(nèi)的任一點，按照某種法則，都有唯一確定的實數(shù)與之對應(yīng)，則稱是上的二元函數(shù)，它在處的函數(shù)值記為，即，其中x，y稱為自變量，z稱為因變量.點集D稱為該函數(shù)的定義域，數(shù)集稱為該函數(shù)的值域