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《線性代數(shù)課件--09向量組的秩與向量空間》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、主要內(nèi)容第九講向量組的秩與向量空間向量組的最大無關(guān)組和向量組的秩的定義及等價定義；基本要求向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系，向量組的秩和最大無關(guān)組的求法；向量空間的概念，向量空間的基和維數(shù)、子空間、向量組所生成的空間等概念及有關(guān)結(jié)論.理解向量組的最大無關(guān)組和向量組的秩的概念，知道向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系.會用矩陣的初等變換求向量組的秩和最大無關(guān)組.知道向量空間、向量空間的基和維數(shù)、子空間、向量組所生成的空間的概念.會求向量在基中的坐標(biāo).1課件一、向量組的秩與最大無關(guān)組第三節(jié)向量組的秩定義⑴向量組線性無關(guān)；設(shè)有向量組，如果在中能選出個向量，滿足⑵向量組中任意個向量（如
2、果中有個向量的話）都線性相關(guān).那么稱向量組是向量組的一個最大線性無關(guān)向量組，簡稱最大無關(guān)組，最大無關(guān)組所含向量個數(shù)稱為向量組的秩，記作.只含零向量的向量組沒有最大無關(guān)組，規(guī)定它的秩為0.2課件例如設(shè)向量組⑴線性無關(guān)；⑵線性相關(guān)，所以是向量組的最大無關(guān)組，且.另外，也線性無關(guān)，所以也是向量組的最大無關(guān)組.同理，也是向量組的最大無關(guān)組.3課件說明這個定義是把秩的概念引申到向量組中來，給秩的概念賦予幾何解釋.并且由于向量組可以含無限多個向量，從而使秩的概念深入到更廣闊的領(lǐng)域.定義表明最大無關(guān)組就是含向量個數(shù)最多的線性無關(guān)的部分組.向量組的最大無關(guān)組一般不唯一.若向量組
3、的秩為，則向量組中任意個線性無關(guān)的向量組成的向量組都是它的最大無關(guān)組.4課件二、向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系1.定理的引入記根據(jù)最大無關(guān)的定義，知所以中存在階非零子式，即矩陣中含有階非零子式.另一方面，如果中有階子式不為零，則矩陣中所在的列線性無關(guān)（因為矩陣的秩為）.設(shè)向量組的秩為，且是它的一個最大無關(guān)組.這與是的列向量組的最大無關(guān)組矛盾.因此即，矩陣的列向量組的秩等于矩陣的秩.5課件2.定理6矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩.證設(shè)并設(shè)的階子式.由知，在中所在的列線性無關(guān)；又由中所有階子式均為零知，中任意個列向量都線性相關(guān).因此，所在的列是的列
4、向量組的一個最大無關(guān)組，所以的列向量組的秩為.類似可證矩陣的行向量組的秩等于矩陣的秩.6課件說明根據(jù)上述定理，有限向量組的秩的記號與矩陣的秩的記號不加區(qū)分.向量組的秩也記作此定理給出了向量組的秩和最大無關(guān)組的求法.向量組的秩等于它所構(gòu)成的矩陣的秩；最高階非零子式所在的列向量，就是列向量組的最大無關(guān)組.由此可知，前面介紹的定理1、2、3、4中出現(xiàn)的矩陣的秩都可該為向量組的秩.7課件例1全體維向量構(gòu)成的向量組記作，求的一個最大無關(guān)組及的秩.解我們已經(jīng)知道，維單位坐標(biāo)向量組析：此例的目的是熟悉向量組的最大無關(guān)組和向量組秩的定義.聯(lián)系后面的向量空間的概念，知是一個維向量
5、空間，是它的一個基，稱為的自然基.是線性無關(guān)，又中的任意個向量（維）都線性相關(guān)，因此向量組是的一個最大無關(guān)組，且的秩等于.顯然，的最大無關(guān)組很多，任何個線性無關(guān)的維向量都是的最大無關(guān)組.8課件三、最大無關(guān)組的等價定義1.結(jié)論的引入問題：向量組與其最大無關(guān)組有什么關(guān)系呢？設(shè)向量組是向量組的最大無關(guān)組，顯然，向量組能由向量組線性表示：另一方面，因為向量組是向量組的最大無關(guān)組，所以向量組中任意個向量都線性相關(guān)，特別地，對于中任一向量，向量組線性相關(guān)，因此線性表示，所以向量組與其最大無關(guān)組等價.即向量組能由向量組線性表示.9課件2.推論（最大無關(guān)組的等價定義）設(shè)向量組向
6、量組的一個部分組，且滿足⑴向量組線性無關(guān)；⑵向量組的任一向量都能由向量組線性表示，（向量組與等價）那么向量組就是向量組的一個最大無關(guān)組.10課件證析：按所設(shè)，要證明向量組是向量組的一個最大無關(guān)組，只要證明向量組中任意個向量線性相關(guān).設(shè)是向量組中任意個向量，按條件⑵知，能由向量組線性表示，從而有（由定理3）于是，由定理4知，線性相關(guān)，因此向量組是向量組的一個最大無關(guān)組.11課件例2設(shè)齊次線性方程組的全體解向量構(gòu)成的向量組為，求的秩.解析：此題的目的是運用“最大無關(guān)組的等價定義”求向量組的最大無關(guān)組和秩.先解方程12課件得所以方程組的通解為再寫出向量組，13課件把上
7、式記作則即能由向量組線性表示，而顯然是線性無關(guān)的.因此根據(jù)最大無關(guān)組的等價定義知，是的最大無關(guān)組，從而.14課件四、含無限個向量的向量組的結(jié)論利用最大無關(guān)組和向量組的秩，可以把定理1、2、3推廣到含無限個向量的向量組：向量能由向量組線性表示的充分必要條件是矩陣的秩等于矩陣的秩.定理1定理1`向量組和向量，向量組表示由向量組與向量合并而成的向量組.向量能由向量組的充要條件是.15課件向量組能由向量組線性表示的充分必要條件是矩陣的秩等于矩陣的秩，定理2定理2`設(shè)向量組表示由向量組與向量組合并而成的向量組，則向量組能由向量組線性表示充要條件是.定理3設(shè)向量組能由向量組
8、線性表示，則定理3`設(shè)向
