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1、立體幾何與平面解析幾何的交匯問題在教材中，立體幾何與解析幾何是互相獨立的兩章，彼此分離不相聯(lián)系，實際上，從空間維數(shù)看，平面幾何是二維的，立體幾何是三維的，因此，立體幾何是由平面幾何升維而產(chǎn)生；另一方面，從立體幾何與解析幾何的聯(lián)系看，解析幾何中的直線是空間二個平面的交線，圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）是平面截圓錐面所產(chǎn)生的截線；從軌跡的觀點看，空間中的曲面（曲線）是空間中動點運動的軌跡，正因為平面幾何與立體幾何有這么許多千絲萬縷的聯(lián)系，因此，在平面幾何與立體幾何的交匯點，新知識生長的土壤特別肥沃，創(chuàng)新型題型的生長空間也相當
2、寬廣，這一點，在高考卷中已有充分展示，應(yīng)引起我們在復(fù)習中的足夠重視。一、動點軌跡問題這類問題往往是先利用題中條件把立幾問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，再判斷動點軌跡。例1定點A和B都在平面內(nèi)，定點，，C是內(nèi)異于A和B的動點，且。那么，動點C在平面內(nèi)的軌跡是（）A.一條線段，但要去掉兩個點B.一個圓，但要去掉兩個點C.一個橢圓，但要去掉兩個點D.半圓，但要去掉兩個點 例2若三棱錐A—BCD的側(cè)面ABC內(nèi)一動點P到平面BCD距離與到棱AB距離相等，則動點P的軌跡與△ABC組成的圖形可能是（） 解：設(shè)二面角A—BC—D大小為θ，作P
3、R⊥面BCD，R為垂足，PQ⊥BC于Q，PT⊥AB于T，則∠PQR=θ，且由條件PT=PR=PQ·sinθ，∴為小于1的常數(shù)，故軌跡圖形應(yīng)選（D）。二、幾何體的截痕例3：球在平面上的斜射影為橢園：已知一巨型廣告汽球直徑6米，太陽光線與地面所成角為60°，求此廣告汽球在地面上投影橢圓的離心率和面積（橢圓面積公式為S=πab，其中a,b為長、短半軸長）。解：由于太陽光線可認定為平行光線，故廣告球的投影 橢園等價于以廣告球直徑為直徑的圓柱截面橢園：此時OE例4題圖ABCDA1C1D1B1M b=R，a==2R，∴離心率，
4、投影面積S=πab=π·k·2R=2πR2=18π。三、動點與某點（面）的距離問題例4．正方體中，棱長為a，E是的中點，在對角面上找一動點M，使AM+ME最小.．四、常見的軌跡問題（1）軌跡類型識別此類問題最為常見，求解時，關(guān)注幾何體的特征，靈活選擇幾何法與代數(shù)法.例5、（北京）平面的斜線AB交于點B，過定點A的動直線l與AB垂直，且交于點C，則動點C的軌跡是()A．一條直線B.一個圓C.一個橢圓D.雙曲線的一支【解析】直線l運動后形成的軌跡剛好為線段AB的垂面，由公理二易知點C剛好落在平面與線段AB的垂面的交線上，所以動
5、點C的軌跡是一條直線.選擇A.總結(jié)：空間的軌跡最簡單的一直存在形式就是兩個平面的交線，處理問題中注意識別即可.BCD1B1CgPO例6、如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，若四邊形A1BCD1內(nèi)一動點P到AB1和BC的距離相等，則點P的軌跡為（）A．橢圓的一部分B．圓的一部分C．一條線段D．拋物線的一部分【解析】由于AB1^平面ABCD11，連接OP，此即為點P到AB1的距離，由此，動點P到AB1和BC的距離相等轉(zhuǎn)化為在平面內(nèi)到定點（定直線外）的距離與到定直線的距離相等的點的軌跡問題，符合拋物線的定義，所以本題選D.
6、總結(jié)：立體幾何中的距離問題，往往需要借助線面垂直轉(zhuǎn)化；涉及到動點的軌跡問題，優(yōu)先考慮定義法.例7、（浙江）如圖，AB是平面的斜線段．．．，A為斜足，若點P在平面內(nèi)運動，使得△ABP的面積為定值，則動點P的軌跡是（）A．圓B．橢圓C．一條直線D．兩條平行直線【解析】考慮到三角形的面積為定值，結(jié)合線段AB固定，易知動點P到線段AB的距離為定值，結(jié)合前文定義，在空間到定直線距離為定值的點的軌跡為以定直線為軸的圓柱面，可以得到P點在此圓柱面上，又點P在平面內(nèi)運動，所以點P在平面與圓柱面的截線上，由于AB是平面的斜線段．．．，所以平
7、面與圓柱面斜交，由命題1，可以得到動點P的軌跡是橢圓總結(jié)：“動中尋靜”，充分挖掘不變量，是解決此類問題的關(guān)鍵，另外需注意圓柱面的生成過程.例8、如圖，在矩形ABCD中，E為邊AD上的動點，將△ABE沿著直線BE翻轉(zhuǎn)成△ABE1，使平面ABE1⊥平面ABCD，則點A1的軌跡是（）A.線段B.圓弧C.橢圓的一部分D.以上都不是【解析】將△ABE沿著直線BE翻轉(zhuǎn)成DABE1的過程中，AB1的長度始終是保持不變的，這樣，點A1在以B為球心，以AB為半徑的球面上，所以點A1的形成軌跡為圓弧，選擇B.AB總結(jié):在空間，到定點的距離為定
8、長的點的軌跡為球，球的概念生成的兩個必要條件為定點與定長，解題時注意把控.例9、已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，點P是平面ABCD內(nèi)的動點，若點P到直ABCD1A1B1C1DMPxyQN線A1D1的距離等于點P到直線CD的距離，則動點P的軌跡所在的曲線是（）A．拋物線B．雙曲線C．橢圓D．
