資源描述：
《平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度一、平穩(wěn)過程的功率譜密度二、譜密度的性質(zhì)三、互譜密度及其性質(zhì)假如x(t)滿足狄利克雷(Dirichlet)條件,且絕對可積,即那么x(t)的傅里葉變換存在或者說具有頻譜且同時有傅里葉逆變換一、平穩(wěn)過程的功率譜密度設(shè)有時間函數(shù)一般是復(fù)數(shù)量,其共軛函數(shù)1.平均功率和能量譜密度等式:稱為x(t)的能量譜密度帕塞瓦爾等式又可理解為總能量的譜表示式.平均功率上的平均功率.平均功率的譜表示式由給定的x(t)構(gòu)造一個截尾函數(shù)絕對可積它的帕塞瓦爾等式變形得稱為x(t)的平均功率譜密度2.平穩(wěn)過程的平均功率和能量譜密度交換
2、定義式中積分與均值的運(yùn)算順序,并注意到平穩(wěn)過程的均方值是常數(shù),于是平穩(wěn)過程的平均功率該過程的均方值平穩(wěn)過程X(t)的功率譜密度,即稱為平穩(wěn)過程X(t)的平均功率的譜表示式.也簡稱為自譜密度或譜密度,它是從頻率這個角度描述X(t)的統(tǒng)計規(guī)律的最主要的數(shù)字特征.物理意義:表示X(t)的平均功率關(guān)于頻率的分布.二、譜密度的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2它們統(tǒng)稱為維納-辛欽(Wiener-Khintchine)公式.說明1.平穩(wěn)過程在自相關(guān)函數(shù)絕對可積的條件下,維納-辛欽公式成立.都是偶函數(shù),所以維納-辛欽公式還可以寫成如下的形式:的譜表示式.它揭示
3、了從時間角度描述平穩(wěn)過程X(t)的統(tǒng)計規(guī)律和從頻率角度描述X(t)的統(tǒng)計規(guī)律之間的聯(lián)系.在應(yīng)用上我們可以根據(jù)實際情形選擇時間域方法或等價的頻率域方法去解決實際問題.3.維納-辛欽公式又稱為平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)例1已知譜密度求平穩(wěn)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)和均方值.解由公式知自相關(guān)函數(shù)利用留數(shù)定理,可算得均方值為說明有理譜密度在實際問題中常常碰到這樣一些平穩(wěn)過程,它們的自相關(guān)函數(shù)或譜密度在常義情形下的傅立葉變換或逆變換不存在,此時如果允許譜密度和自相關(guān)函數(shù)含有δ函數(shù),有關(guān)實際問題仍能得到圓滿解決.在這種情況下,自相關(guān)函數(shù)為常數(shù)或正弦型
4、函數(shù)的平穩(wěn)過程,其譜密度都是離散的.求自相關(guān)函數(shù)所對應(yīng)譜密度解所要求的譜密度為相應(yīng)的譜密度如圖所示:此圖說明了譜密度是如何表明噪聲以外的周期信號的.例2白噪聲均值為零而譜密度為正常數(shù),即的平穩(wěn)過程X(t)稱為白噪聲過程,簡稱白噪聲.其名出于白光具有均勻光譜的緣故.2.白噪聲的自相關(guān)函數(shù)1.定義是不相關(guān)的.(1)白噪聲也可定義為均值為零、自相關(guān)函數(shù)為說明(2)白噪聲是一種理想化的數(shù)學(xué)模型.它的平均功率是無限的.白噪聲在數(shù)學(xué)處理上具有簡單、方便優(yōu)點.如果某種噪聲(或干擾)在比實際考慮的有用頻帶寬得多的范圍內(nèi),具有比較“平坦”的譜密度
5、,那就可把它近似地當(dāng)作白噪聲來處理.三、互譜密度及其性質(zhì)互譜密度的定義設(shè)X(t)和Y(t)是兩個平穩(wěn)相關(guān)的隨機(jī)過程.稱為平穩(wěn)過程X(t)和Y(t)的互譜密度.說明互譜密度的性質(zhì)2.在互相關(guān)函數(shù)絕對可積的條件下,有如下維納-辛欽公式4.互譜密度與自譜密度之間成立有不等式注意(1)在應(yīng)用上當(dāng)考慮多個平穩(wěn)過程之和的頻率結(jié)構(gòu)時,要運(yùn)用互譜密度.例如:其中X(t)和Y(t)是平穩(wěn)相關(guān)的.Z(t)的自相關(guān)函數(shù)是根據(jù)維納-辛欽公式,Z(t)的自譜密度為(2)互譜密度并不象自譜密度那樣具有物理意義,引入這個概念主要是為了能在頻率域上描述兩個平穩(wěn)
6、過程的相關(guān)性.例如:對具有零均值的平穩(wěn)過程X(t)和Y(t),根據(jù)性質(zhì)(2),解功率譜密度為常數(shù)的平穩(wěn)過程是白噪聲.例3解例4解方法1例5平均功率為方法2
