非平穩(wěn)隨機(jī)過程功率譜密度初探

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1、第20卷
第4期工
程
數(shù)
學(xué)
學(xué)
報Vol.20No.42003年11月JOURNALOFENGINEERINGMATHEMATICSNov.2003文章編號:1005-3085(2003)04-0134-03y非平穩(wěn)隨機(jī)過程功率譜密度初探王良曦,
潘高田,
薛孟君(裝甲兵工程學(xué)院軍隊指揮室,北京100072)摘
要:提出了非平穩(wěn)過程功率譜密度的概念。證明路面譜密度就是非平穩(wěn)隨機(jī)過程Wiener過程的功率譜密度。該結(jié)果對路面仿真以及為車輛振動提供輸入激勵的實(shí)時性和真實(shí)性具有很重要實(shí)際價值。關(guān)鍵詞:路面譜密度;功率譜密度;仿真分類號:AMS(2000)60J65



中圖分類

2、號:O211.61



文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A1
前言平穩(wěn)過程在滿足一定的條件下相關(guān)函數(shù)與功率譜密度互為付氏變換對。但在工程中碰到隨機(jī)過程通常是非平穩(wěn)過程。如用平穩(wěn)過程去近似,有時誤差會很大。本文認(rèn)為非平穩(wěn)隨機(jī)過程也應(yīng)該具有功率譜密度,它們的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度也應(yīng)具有一定的對應(yīng)關(guān)系。譬如[1]通過大量的實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計,發(fā)現(xiàn)不平路面的功率譜密度可用下式表示:A

Sq(
)=2(1)
-1式中
-長度頻率,表示每米中某一波長出現(xiàn)的次數(shù),單位為m,A-路面不平度系2-1數(shù),單位為m
m。但找不到一個平穩(wěn)過程,它具有簡潔的解析表達(dá)式(級數(shù)表達(dá)式除外),而且它的功率譜密度就是(1)。為此,本文對

3、非平穩(wěn)過程合理定義功率譜密度,從非平穩(wěn)過程中找到了一個隨機(jī)過程,其功率譜密度就是(1)。這一結(jié)果對仿真的真實(shí)性和實(shí)時性具有很重要的意義。2
非平穩(wěn)過程的功率譜密度[2]文從確定性信號的功率譜密度出發(fā),定義了平穩(wěn)隨機(jī)過程信號X(t)的功率譜密度為12

SX(
)=limE[

4、FX(
,T)

5、]T
T+
i
t其中

FX(
,T)=
XT(t)edt-
y收稿日期:2002-01-14.
作者簡介:王良曦(1941年5月生),男,學(xué)士,教授,研究方向:車輛振動,計算機(jī)仿真.第4期








王良曦等:非平穩(wěn)隨機(jī)過程功率譜密度初探135X(t),

t
T

XT(t)=

6、
0,


t>T在一定的條件下可以證明功率譜密度與相關(guān)函數(shù)具有互為付氏變換對的關(guān)系。由此,得到啟發(fā),對一個非平穩(wěn)隨機(jī)過程B(t),也可以定義它的功率譜密度。定義
設(shè)有非平穩(wěn)隨機(jī)過程B(t),如果12

SB(
)=limE[

7、FB(
,T)

8、](2)T
T存在,則稱SB(
)為隨機(jī)過程B(t)的功率譜密度。其中i
t

FB(
,T)=
XT(t)edt-
性質(zhì)
SB(
)為非平穩(wěn)隨機(jī)過程B(t)的功率譜密度,則TT1-i
(s-t)

SB(
)=limRB(t,s)edtds(3)T
T

0012證明
SB(
)=limE[

9、FB(
,T)

10、]T
T1=limE[

11、FB(
,T)FB(-
,T)]T
TTT1-i
(s-t)=limE[B(t)B(s)]edtdsT
T

00TT1-i
(s-t)=limRB(t,s)edtdsT
T

00它說明非平穩(wěn)隨機(jī)過程B(t)的功率譜密度存在的充分必要條件是(3)式成立,也說明非平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度和相關(guān)函數(shù)之間應(yīng)具有的關(guān)系。3
應(yīng)用舉例2Wiener過程不是平穩(wěn)過程,它的期望為零,相關(guān)函數(shù)是
min(t,s),用上述定義可求出Wiener過程的功率譜密度TT212-i
(s-t)222sin
T2


SB(
)=lim
min(t,s)edtds=
{2-lim3}=2T
T

12、

T

T
00故22


SB(
)=2(4)
當(dāng)車輛在不平路面行駛時要發(fā)生振動,為研究車輛振動性能,路面作為一個隨機(jī)激勵信號進(jìn)行輸入。大量的實(shí)驗(yàn)證明路面的功率譜密度是(1)。現(xiàn)在又證明了Wiener過程的功率譜密度就是(1)的形式,因此用Wiener過程作為時域路面信號,對車輛振動分析時作為輸入信號是合適的。我們用Wiener過程模擬路面波形時,橫坐標(biāo)為距離。圖1為-100米長路面模擬的結(jié)果。圖2是短距離(10米)的波形。與圖1比較,可觀察到主要特征一局部與整體的自相似性。譜密度曲線如圖3所示。圖中同時畫出了一條斜率為-2的直線?？梢钥闯鲇肳iener過136工
程
數(shù)

13、
學(xué)
學(xué)
報













第20卷程所產(chǎn)生的路面波形的譜密度的變化趨勢與(1)路面譜密度的趨勢是非常一致的。利用Wiener過程運(yùn)動方法來模擬隨機(jī)不平路面的波形是一種簡單而有效的新的方法。模擬結(jié)果與實(shí)際路面特性相符。大大提高了仿真的實(shí)時性與真實(shí)性。距離(m)距離(m)圖1
模擬路面波形圖2
局部波形長度頻率(1
m)圖3
模擬路面的功率譜密度參考文獻(xiàn):[1]
余志生.汽車?yán)碚揫M].機(jī)械工業(yè)出版社,1998;5:173-175[2]
汪榮鑫.隨機(jī)過程[M].西安:交通大學(xué)出版社