微分方程與數(shù)學(xué)建模

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1、第六章微分方程與數(shù)學(xué)建模第一節(jié)微分方程第二節(jié)微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用第一節(jié)微分方程一、微分方程的基本概念二、一階微分方程三、一階線性微分方程及可降階的高階微分方程四、二階常系數(shù)線性微分方程一、微分方程的基本概念1.引例解2.微分方程的基本概念凡是表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）與自變量之間關(guān)系的方程稱為微分方程.微分方程中未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為方程的“階”，未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程稱為常微分方程如果自變量為x，未知函數(shù)為y，則n階微分方程的一般形式為任何滿足微分方程的函數(shù)都稱為微分方程的解.如果微分方程的解中含有任

2、意常數(shù)?且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同?這樣的解叫做微分方程的通解.不含任意常數(shù)的解稱為微分方程的特解.用來確定方程通解中任意常數(shù)的條件稱為方程的初始條件.求微分方程滿足初始條件的解的問題稱為初值問題.二、一階微分方程一階微分方程的一般形式為1.可分離變量的微分方程2.齊次方程的微分方程稱為齊次方程.解法作變量代換代入原式變量可分離的微分方程定義三、一階線性微分方程及可降階的高階微分方程)()(xQyxPdxdy=+一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:,0)(oxQ當(dāng)上方程稱為齊次的.上方程稱為非齊次的.,0)(oxQ當(dāng)1.一階線性

3、齊次方程的解法齊次方程的通解為(使用分離變量法)2.一階線性非齊次方程的解法對應(yīng)齊次方程解法：常數(shù)變易法先求出對應(yīng)齊次方程的通解：再令C=u(x)，即為原方程的解，積分得一階線性非齊次微分方程的通解為對應(yīng)齊次方程通解非齊次方程特解變易常數(shù)應(yīng)滿足的條件3.可降階的高階微分方程四、二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程的形式二階常系數(shù)線性微分方程的一般形式稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程.1.二階常系數(shù)齊次線性方程1)解的性質(zhì)將其代入上方程,得故有特征方程特征根2)通解的求法（1）有兩個不相等的實(shí)根兩個特解得齊次方程的通解為

4、特征根為（2）有兩個相等的實(shí)根一特解為得齊次方程的通解為特征根為（3）有一對共軛復(fù)根重新組合得齊次方程的通解為特征根為2.二階常系數(shù)非齊次線性微分方程設(shè)非齊方程特解為代入原方程綜上討論注意上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程（k是重根次數(shù)）.特別地利用歐拉公式注意上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程.