微分方程與數(shù)學(xué)建模new

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1、第15卷第2期景德鎮(zhèn)高專學(xué)報Vol.15No.22000年6月JournalofJingdezhenCollegeJun.2000[文章編號]100828458(2000)0220006204微分方程與數(shù)學(xué)建模①吳丹桂(景德鎮(zhèn)高?？蒲刑幘暗骆?zhèn)333000)[摘要]從探照燈反射鏡面,吊橋的橋拱形狀及懸鏈線的形成過程的分析,用微分方程得出它們的數(shù)學(xué)模型。[關(guān)鍵詞]微分方程;拋物線;懸鏈線;數(shù)學(xué)建模[中圖分類號]O175[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A在工程技術(shù)和管理科學(xué)領(lǐng)域,存在大量的數(shù)學(xué)模型,通過這些實(shí)際模型的建立和解決,最后使我們的目標(biāo)得到完整而精確的方案(包括設(shè)計圖紙,

2、施工方案,經(jīng)費(fèi)預(yù)算等)。本文從幾個較簡單的實(shí)例出發(fā),用微分方程的方法建立幾個數(shù)學(xué)模型。1探照燈反射鏡面的形狀在制造探照燈的反射鏡面時,總是要求將點(diǎn)光源射出的光線平行地反射出去,以保證探照燈有良好的方向性,試求反射鏡面的幾何形狀。分析:設(shè)光源在坐標(biāo)原點(diǎn),如圖1,并取x軸平行于光的反射方向。如果所求的曲面由曲線y=f(x)繞x軸旋轉(zhuǎn)而成,則求反射鏡面的問題就相當(dāng)于求曲線y=f(x)(平面曲線)的問題。為此,過曲線y=f(x)(y>0)的點(diǎn)M(x,y)作切線MT,則由光的反射定律:入射角等于反射角,得到圖1中的α1及α2的關(guān)系式:ππ圖1-α1=-α222即α1

3、=α2由圖1可看出α3=α1+α2=2α22tgα2故得tgα3=tg2α2=2⑴1-tgα2①收稿日期:2000-03-06作者簡介:吳丹桂(1949-),男,江西波陽人,講師。第2期吳丹桂:微分方程與數(shù)學(xué)建?！?·dyy但是tgα2=,tgα3=⑵dxx將⑵代入⑴得到dy2ydx=2xdy1-dx2dydyyx解出得到=-±1+⑶dxdxxyππ我們還可假設(shè)0<α3<,即0<α2<也就是說:24dy0<=tgα2<1dx故在⑶式中只取根號前的正號,這樣就得到曲線y=f(x)應(yīng)滿足的微分方程2dyyx=-+1+⑷dxxyxdxdv⑷是齊次方程,可作變換,

4、即=v,即x=yv,這時=v+y代入⑷式得到y(tǒng)dydydv1v+y=dy-v+1+v2dvdy即=1+v2y積分后代回原來的變量可得222yx+y=-x+C2即y=C(C+2x)這是拋物線。因此,反射鏡面為旋轉(zhuǎn)拋物面。2吊橋的鋼纜呈什么曲線的形狀?這里設(shè)把鋼纜與橋面連結(jié)起來的吊索全都互相靠近并且是并列平行的。又,鋼纜,吊索及橋身的每單位長的重量分別是a,b,c。分析:如圖2是所設(shè)計的吊橋的大致形狀。設(shè)吊橋的橋身是筆直而水平的,把它作為x軸,把通過鋼纜最低點(diǎn)的鉛垂線作為y軸。(如圖3)。在鋼纜上任取一點(diǎn)P(x,y),再在它上方取一點(diǎn)Q(x+dx,y+dy),

5、設(shè)P,Q間鋼纜的長度為ds。因?yàn)樽饔迷赑Q這一段上的水平方向的力平衡,若設(shè)鋼纜張力的水平分量為T,則以作用在PQ這一段上垂直方向的力平衡的條件得:圖2T[tg(θ+dθ)-tgθ]=ads+bydx+cdx⑸dy但tgθ=dx·8·景德鎮(zhèn)高專學(xué)報2000年dtg(θ+dθ)≈tgθ+(tgθ)dθ(泰勒定理)dθddx=tgθ(tgθ)dθdxdθdyddy=+dx⑹dxdxdx將⑹代入⑸得ddyadsbC=·+y+⑺dxdxTdxTT2圖322dy又ds=dx+dy=dx1+dx2dsdy=1+dxdx故⑺式成為2ddyadybC=1++y+⑻dxdxT

6、dxTT22dyadybC或改寫成2=1++y+⑼dxTdxTT這樣,鋼纜的形狀可以求解微分方程⑼得出,直接求解⑼是困難的,在實(shí)際應(yīng)用中是只求其近似解,求法如下:顯然,與橋身的重量相比,鋼纜及吊索的重量是微不足道的,故⑼式右邊的第一,二項(xiàng)可以略去而成為2dyC2=(9′)dxTdy積分(9′)(兩次積分),并注意到在鋼纜最低點(diǎn)切線是水平的,即x=0時,=0,便得到dxC2y=x+h⑽2T其中h是鋼纜最低點(diǎn)到橋身的高度,這樣,吊橋的鋼纜近似地呈拋物線形狀⑽。3鏈條懸掛在相同高度的兩點(diǎn)間,并且只受其自身重量的作用,它的形狀如何?分析:如圖4,以鏈條的最低點(diǎn)為原

7、點(diǎn),鉛直向上為y軸,水平方向?yàn)閤軸,建立坐標(biāo)系。在鏈條上取兩點(diǎn)P(x,y)及Q(x+dx,y+dy),設(shè)P,Q間的鏈條長為ds。從作用在PQ段上水平方向的力的平衡條件,知P,Q處鏈條的張力的水平分力的大小相等,設(shè)為T。再從作用在PQ段上垂直方向的力的平衡條件得Ttg(θ+dθ)-Ttgθ=wds⑾其中w是鏈條每單位長的重量,因?yàn)榈?期吳丹桂:微分方程與數(shù)學(xué)建?！?·dytgθ=dxdyddytg(θ+dθ)=+dx⑿dxdxdx2dyds=dx1+dx故由⑾、⑿得22dywdy2=1+⒀圖4dxTdxdy設(shè)=ζ⒁dxdζw2則⒀成為=1+ζdxTdζw=d

8、x⒂1+ζ2Tw積分得?ζ+1+ζ2=x+C1⒃Tdy圖5因?yàn)樵阪?/p>