微分方程應(yīng)用建模new

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1、常微分方程方法與應(yīng)用數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院張齊鵬電話：13598262797信箱：qpzh66@163.com第五節(jié)微分方程的幾個實例微分方程的幾個簡單實例在許多實際問題中，當(dāng)直接導(dǎo)出變量之間的函數(shù)關(guān)系較為困難，但導(dǎo)出包含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的關(guān)系式較為容易時，可用建立微分方程模型的方法來研究該問題，本節(jié)將通過一些最簡單的實例來說明微分方程建模的一般方法。在連續(xù)變量問題的研究中，微分方程是十分常用的數(shù)學(xué)工具之一。例1（理想單擺運動）建立理想單擺運動滿足的微分方程，并得出理想單擺運動的周期公式。從圖1中不難看出，小球所受的合力為mgsinθ，根據(jù)牛頓第二定律可得：從而得出兩階微

2、分方程：（1）這是理想單擺應(yīng)滿足的運動方程（1）是一個兩階非線性方程，不易求解。當(dāng)θ很小時，sinθ≈θ，此時，可考察（1）的近似線性方程：MQPmg圖1（2）（2）的解為:θ(t)=θ0cosωt其中當(dāng)時,θ(t)=0故有由此即可得出（1）的近似方程例2我方巡邏艇發(fā)現(xiàn)敵方潛水艇。與此同時敵方潛水艇也發(fā)現(xiàn)了我方巡邏艇，并迅速下潛逃逸。設(shè)兩艇間距離為60哩，潛水艇最大航速為30節(jié)而巡邏艇最大航速為60節(jié)，問巡邏艇應(yīng)如何追趕潛水艇。這一問題屬于對策問題，較為復(fù)雜。討論以下簡單情形：敵潛艇發(fā)現(xiàn)自己目標(biāo)已暴露后，立即下潛，并沿著直線方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。設(shè)巡邏艇在A

3、處發(fā)現(xiàn)位于B處的潛水艇，取極坐標(biāo)，以B為極點，BA為極軸，設(shè)巡邏艇追趕路徑在此極坐標(biāo)下的方程為r=r(θ)，見圖2。BAA1drdsdθθ圖2由題意，，故ds=2dr圖2可看出，故有:即:（3）解為：（3）先使自己到極點的距離等于潛艇到極點的距離,然后按（3.4）對數(shù)螺線航行，即可追上潛艇。追趕方法如下：例3一個半徑為Rcm的半球形容器內(nèi)開始時盛滿了水，但由于其底部一個面積為Scm2的小孔在t=0時刻被打開，水被不斷放出。問：容器中的水被放完總共需要多少時間？解:以容器的底部O點為原點，取坐標(biāo)系如圖3所示。令h(t)為t時刻容器中水的高度，現(xiàn)建立h(t)滿足的微分方程

4、。設(shè)水從小孔流出的速度為v(t)，由力學(xué)定律，在不計水的內(nèi)部磨擦力和表面張力的假定下，有：因體積守衡，又可得：RxySO圖3hr即：這是可分離變量的一階微分方程，得故有：易見：或利用Matlab來求上述積分（參見程序myint1.m)。例4一根長度為l的金屬桿被水平地夾在兩端垂直的支架上，一端的溫度恒為T1，另一端溫度恒為T2，（T1、T2為常數(shù)，T1>T2）。金屬桿橫截面積為A，截面的邊界長度為B，它完全暴露在空氣中，空氣溫度為T3，（T3

5、同一截面上的各點處溫度也不盡相同，如果這樣來考慮問題，本題要建的數(shù)學(xué)模型應(yīng)當(dāng)為一偏微分方程。但由題意可以看出，因金屬桿較細(xì)且金屬桿導(dǎo)熱系數(shù)又較大，為簡便起見，不考慮這方面的差異，而建模求單變量函數(shù)T(x)。dt時間內(nèi)通過距離O點x處截面的熱量為：dt時間內(nèi)通過距離O點x+dx處截面的熱量為：熱傳導(dǎo)現(xiàn)象機理：當(dāng)溫差在一定范圍內(nèi)時，單位時間里由溫度高的一側(cè)向溫度低的一側(cè)通過單位面積的熱量與兩側(cè)的溫差成正比，比例系數(shù)與介質(zhì)有關(guān)。由泰勒公式：同時，微元向空氣散發(fā)出的熱量為：金屬桿的微元[x,x+dx]在dt內(nèi)由獲得熱量為：系統(tǒng)處于熱平衡狀態(tài)，故有：所以金屬桿各處溫度T(x)滿

6、足的微分方程:這是一個兩階常系數(shù)線性方程，很容易求解為了保持自然資料的合理開發(fā)與利用，人類必須保持并控制生態(tài)平衡，甚至必須控制人類自身的增長。本節(jié)將建立幾個簡單的單種群增長模型，以簡略分析一下這方面的問題。種群的數(shù)量本應(yīng)取離散值，但由于種群數(shù)量一般較大，為建立微分方程模型，可將種群數(shù)量看作連續(xù)變量,由此引起的誤差將是十分微小的。Malthus模型與Logistic模型模型1馬爾薩斯（Malthus）模型馬爾薩斯在分析人口出生與死亡情況的資料后發(fā)現(xiàn)，人口凈增長率r基本上是一常數(shù)，（r=b-d,b為出生率，d為死亡率），即：或（5）（6）（5）的解為：其中N0=N(t0)

7、為初始時刻t0時的種群數(shù)。馬爾薩斯模型的一個顯著特點：種群數(shù)量翻一番所需的時間是固定的。令種群數(shù)量翻一番所需的時間為T，則有：故模型檢驗比較歷年的人口統(tǒng)計資料，可發(fā)現(xiàn)人口增長的實際情況與馬爾薩斯模型的預(yù)報結(jié)果基本相符，例如，1961年世界人口數(shù)為30.6（即3.06×109），人口增長率約為2%，人口數(shù)大約每35年增加一倍。檢查1700年至1961的260年人口實際數(shù)量，發(fā)現(xiàn)兩者幾乎完全一致，且按馬氏模型計算，人口數(shù)量每34.6年增加一倍，兩者也幾乎相同。模型預(yù)測假如人口數(shù)真能保持每34.6年增加一倍，那么人口數(shù)將以幾何級數(shù)的方式增長。例如，到251