微分方程建模78977new

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1、微分方程建模一般說來，微分方程建模的方法大致可以分為以下的幾個(gè)步驟：1.根據(jù)實(shí)際問題的要求確定要研究的量，包括自變量、未知函數(shù)、必要的參數(shù)等以及它們各自的變化區(qū)間；2.列方程?？梢栽诤侠砑僭O(shè)的前提下，利用導(dǎo)數(shù)表示斜率、速度、變化率的實(shí)際意義，根據(jù)一些基本定理（幾何的、物理的、化學(xué)的或生物學(xué)的等等）或規(guī)律，找出未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）與相關(guān)各量之間的等量關(guān)系式，建立微分方程并確定定解條件（注：如果沒有現(xiàn)成的定理可供利用，也可以用微元分析法與模擬近似法列出微分方程）；3.解微分方程；4.對(duì)模型的適用性作出評(píng)價(jià)，即用已知的數(shù)據(jù)檢驗(yàn)微分方程的解是否與實(shí)際相符。若結(jié)果與實(shí)際存在一定的差

2、距，則還要對(duì)方程進(jìn)行修正和調(diào)整，直到得出較滿意的結(jié)果為止。下面，我們就通過一些實(shí)例說明微分方程建模的具體步驟。一.增長(zhǎng)模型在自然界和社會(huì)的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，許多量的變化都遵循著一個(gè)基本的規(guī)律：任一單位時(shí)間內(nèi)的增量都與該量自身當(dāng)時(shí)的大小成正比。運(yùn)用這一基本規(guī)律，就可以建立起各種各樣的增長(zhǎng)模型。1.馬爾薩斯人口模型嚴(yán)格地講，討論人口問題所建立的模型應(yīng)屬于離散型模型。但在人口基數(shù)很大的情況下，突然增加或減少的只是單一的個(gè)體或少數(shù)幾個(gè)個(gè)體，相對(duì)于全體數(shù)量而言，這種改變量是極其微小的，因此，我們可以近似地假設(shè)人口隨時(shí)間連續(xù)變化甚至是可微的。這樣，我們就可以采用微分方程的工具來研究這一問題。最

3、早研究人口問題的是英國(guó)的經(jīng)濟(jì)系家馬爾薩斯(Malthus)（1766—1834）。他根據(jù)百余年的人口資料，經(jīng)過潛心研究，在1798年發(fā)表的《人口論》中首先提出了人口增長(zhǎng)模型。他的基本假設(shè)是：任一單位時(shí)刻人口的增長(zhǎng)量與當(dāng)時(shí)的人口總數(shù)成正比，且比例系數(shù)為常數(shù)。于是，設(shè)時(shí)刻的人口總數(shù)為，則單位時(shí)間內(nèi)人口的增長(zhǎng)量即為根據(jù)基本假設(shè)，有（為比例系數(shù)）令，可得微分方程14（4.1）這就是著名的馬爾薩斯人口方程。若假設(shè)時(shí)的人口總數(shù)為，則不難求得該方程的特解為(4.2)即任一時(shí)刻的人口總數(shù)都遵循指數(shù)規(guī)律向上增長(zhǎng)。人們?cè)眠@個(gè)公式對(duì)1700—1961達(dá)二百六十余年世界的人口資料進(jìn)行了檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)計(jì)

4、算結(jié)果與人口的實(shí)際情況竟然是驚人的吻合！2.放射性元素衰變模型放射性元素的質(zhì)量隨時(shí)間的推移而逐漸減少（負(fù)增長(zhǎng)），這種現(xiàn)象稱為衰變。由物理學(xué)定律知，放射性元素任一時(shí)刻的衰變速度與該時(shí)刻放射性元素的質(zhì)量成正比。根據(jù)這一原理，我們也可以通過微分方程研究放射性元素衰變的規(guī)律。設(shè)放射性元素時(shí)刻的質(zhì)量，則其衰變速度就是，于是可得(4.3)其中是比例常數(shù)，可由該元素的半衰期（質(zhì)量蛻變到一半所需要的時(shí)間）確定；前置負(fù)號(hào)表明放射性元素的質(zhì)量是隨時(shí)刻遞減的。如果在初始時(shí)刻（）放射性元素的質(zhì)量，則可求得該方程的特解為(4.4)這說明放射性元素的質(zhì)量也是隨時(shí)刻按指數(shù)規(guī)律遞減的。為了能將求得的放射性元

5、素衰變規(guī)律應(yīng)用于實(shí)際，還必須確定上式中的比例常數(shù)。這時(shí)，我們可以假設(shè)放射性元素的半衰期為，從而有解之，得，于是反映放射性元素衰變規(guī)律的（4.4）式又可以表示為(4.5)并由此可解得(4.6)它所反映的是放射性元素由初始時(shí)刻的質(zhì)量衰減到所需要的時(shí)間。放射性元素的衰變規(guī)律常被考古、地質(zhì)方面的專家用于測(cè)定文物和地質(zhì)的年代，其中最常用的是（碳-12的同位素）測(cè)定法。14這種方法的原理是：大氣層在宇宙射線不斷的轟擊下所產(chǎn)生的中子與氮?dú)庾饔蒙闪司哂蟹派湫缘?，并進(jìn)一步氧化為二氧化碳，二氧化碳被植物所吸收，而動(dòng)物又以植物為食物，于是放射性碳就被帶到了各種動(dòng)植物的體內(nèi)。對(duì)于具有放射性的來說，

6、不論是存在于空氣中還是生物體內(nèi)，它都在不斷地蛻變。由于活著的生物通過新陳代謝不斷地?cái)z取，因而使得生物體內(nèi)的與空氣中的有相同的百分含量；一旦生物死亡之后，隨著新陳代謝的停止，尸體內(nèi)的就會(huì)不斷地蛻變而逐漸減少，因此根據(jù)蛻變減少量的變化情況并利用（4.6）式，就可以判定生物死亡的時(shí)間。下面，我們就來看一個(gè)運(yùn)用測(cè)定法確定年代的具體實(shí)例：1972年8月，湖南長(zhǎng)沙出土了馬王堆一號(hào)墓（注：出土?xí)r因墓中女尸歷經(jīng)千年而未腐曾經(jīng)轟動(dòng)世界）。經(jīng)測(cè)定，出土的木炭標(biāo)本中的平均原子蛻變速度為29.78次/分，而新砍伐燒成的木炭中的平均原子蛻變速度為38.37次/分；如果的半衰期取為5568年（注：的半衰

7、期在各種資料中說法不一，分別有5568年、5580年和5730年不等），那么，怎樣才能根據(jù)以上數(shù)據(jù)確定這座墓葬的大致年代呢？在確定衰變時(shí)間的公式（4.6）中，由于和表示的分別是該墓下葬時(shí)和出土?xí)r木炭標(biāo)本中的含量，而測(cè)量到的是標(biāo)本中的平均原子蛻變速度，所有我們還要對(duì)（4.6）式作進(jìn)一步的修改：對(duì)（4.4）式求導(dǎo)，得從而有上面兩式相除，得代入（4.6），得(4.7)于是，衰變時(shí)間由(4.6)式根據(jù)含量的變化情況確定就轉(zhuǎn)化為由（4.7）式根據(jù)衰變速度的變化情況來確定，這就給實(shí)際操作帶來了很大的方便。在本例中，