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1、微分方程建模是數學建模的重要方法，因為許多實際問題的數學描述將導致求解微分方程的定解問題。把形形色色的實際問題化成微分方程的定解問題，大體上可以按以下幾步：1.根據實際要求確定要研究的量(自變量、未知函數、必要的參數等)并確定坐標系。2.找出這些量所滿足的基本規(guī)律(物理的、幾何的、化學的或生物學的等等)。3.運用這些規(guī)律列出方程和定解條件。列方程常見的方法有：（i）按規(guī)律直接列方程在數學、力學、物理、化學等學科中許多自然現象所滿足的規(guī)律已為人們所熟悉，并直接由微分方程所描述。如牛頓第二定律、放射性物質的放射性規(guī)律等。我們常利用這
2、些規(guī)律對某些實際問題列出微分方程。（ii）微元分析法與任意區(qū)域上取積分的方法自然界中也有許多現象所滿足的規(guī)律是通過變量的微元之間的關系式來表達的。對于這類問題，我們不能直接列出自變量和未知函數及其變化率之間的關系式，而是通過微元分析法，利用已知的規(guī)律建立一些變量（自變量與未知函數）的微元之間的關系式，然后再通過取極限的方法得到微分方程，或等價地通過任意區(qū)域上取積分的方法來建立微分方程。（iii）模擬近似法在生物、經濟等學科中，許多現象所滿足的規(guī)律并不很清楚而且相當復雜，因而需要根據實際資料或大量的實驗數據，提出各種假設。在一定的
3、假設下，給出實際現象所滿足的規(guī)律，然后利用適當的數學方法列出微分方程。在實際的微分方程建模過程中，也往往是上述方法的綜合應用。不論應用哪種方法，通常要根據實際情況，作出一定的假設與簡化，并要把模型的理論或計算結果與實際情況進行對照驗證，以修改模型使之更準確地描述實際問題并進而達到預測預報的目的。我們將利用上述方法討論具體的微分方程的建模問題。一、衰變問題鐳、鈾等放射性元素因不斷放射出各種射線而逐漸減少其質量,這種現象稱為放射性物質的衰變.根據實驗得知,衰變速度與現存物質的質量成正比,求放射性元素在時刻t的質量.用x表示該放射性物
4、質在時刻t的質量,則表示x在時刻t的衰變速度,于是“衰變速度與現存的質量成正比”可表示為(1)這是一個以x為未知函數的一階方程,它就是放射性元素衰變的數學模型,其中是比例常數,稱為衰變常數,因元素的不同而異.方程右端的負號表示當時間t增加時,質量x減少.解方程(1)得通解若已知當時,代入通解中可得則可得到方程(1)特解它反映了某種放射性元素衰變的規(guī)律.注:物理學中,我們稱放射性物質從最初的質量到衰變?yōu)樵撡|量自身的一半所花費的時間為半衰期,不同物質的半衰期差別極大.如鈾的普通同位素()的半衰期約為50億年;通常的鐳()的半衰期是上
5、述放射性物質的特征,然而半衰期卻不依賴于該物質的初始量,一克衰變成半克所需要的時間與一噸衰變成半噸所需要的時間同樣都是1600年,正是這種事實才構成了確定考古發(fā)現日期時使用的著名的碳-14測驗的基礎.二、人口預測模型由于資源的有限性,當今世界各國都注意有計劃地控制人口的增長,為了得到人口預測模型,必須首先搞清影響人口增長的因素,而影響人口增長的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的遷移、自然災害、戰(zhàn)爭等諸多因素,如果一開始就把所有因素都考慮進去，則無從下手.因此,先把問題簡化,建立比較粗糙的模型,再逐步修改,得到
6、較完善的模型.例1（馬爾薩斯（Malthus）模型）英國人口統(tǒng)計學家馬爾薩斯（1766—1834）在擔任牧師期間,查看了教堂100多年人口出生統(tǒng)計資料,發(fā)現人口出生率是一個常數,于1789年在《人口原理》一書中提出了聞名于世的馬爾薩斯人口模型,他的基本假設是：在人口自然增長過程中,凈相對增長（出生率與死亡率之差）是常數,即單位時間內人口的增長量與人口成正比,比例系數設為,在此假設下,推導并求解人口隨時間變化的數學模型.解設時刻的人口為,把當作連續(xù)、可微函數處理（因人口總數很大,可近似地這樣處理,此乃離散變量連續(xù)化處理）,據馬爾薩
7、斯的假設,在到時間段內,人口的增長量為,并設時刻的人口為,于是這就是馬爾薩斯人口模型,用分離變量法易求出其解為,此式表明人口以指數規(guī)律隨時間無限增長.模型檢驗：據估計1961年地球上的人口總數為,而在以后7年中,人口總數以每年2%的速度增長,這樣,,,于是.這個公式非常準確地反映了在1700—1961年間世界人口總數.因為,這期間地球上的人口大約每35年翻一番,而上式斷定34.6年增加一倍（請讀者證明這一點）．但是,后來人們以美國人口為例,用馬爾薩斯模型計算結果與人口資料比較,卻發(fā)現有很大的差異,尤其是在用此模型預測較遙遠的未來
8、地球人口總數時,發(fā)現更令人不可思議的問題,如按此模型計算,到2670年,地球上將有36000億人口.如果地球表面全是陸地（事實上,地球表面還有80%被水覆蓋）,我們也只得互相踩著肩膀站成兩層了,這是非常荒謬的,因此,這一模型應該修改.例2（邏輯（Logistic
