微分方程建模

《微分方程建?！酚蓵?huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。

1、微分方程建模為了保持自然資源的合理開發(fā)與利用，人類必須保持并控制生態(tài)平衡，甚至必須控制人類自身的增長(zhǎng)。本節(jié)將建立幾個(gè)簡(jiǎn)單的單種群增長(zhǎng)模型，以簡(jiǎn)略分析一下這方面的問題。種群的數(shù)量本應(yīng)取離散值，但由于種群數(shù)量一般較大，為建立微分方程模型，可將種群數(shù)量看作連續(xù)變量,由此引起的誤差將是十分微小的?！?Malthus模型與Logistic模型模型1馬爾薩斯（Malthus）模型馬爾薩斯在分析人口出生與死亡情況的資料后發(fā)現(xiàn)，單位時(shí)間人口凈增長(zhǎng)率r基本上是一常數(shù)，（r=b-d,b為出生率，d為死亡率），既：或（1）（2）（1）的解為：其中N0=N(t0)為初始時(shí)刻t

2、0時(shí)的種群數(shù)。馬爾薩斯模型的一個(gè)顯著特點(diǎn)：種群數(shù)量翻一番所需的時(shí)間是固定的。令種群數(shù)量翻一番所需的時(shí)間為T，則有：故模型檢驗(yàn)比較歷年的人口統(tǒng)計(jì)資料，可發(fā)現(xiàn)人口增長(zhǎng)的實(shí)際情況與馬爾薩斯模型的預(yù)報(bào)結(jié)果基本相符，例如，1961年世界人口數(shù)為30.6（即3.06×109），人口增長(zhǎng)率約為2%，人口數(shù)大約每35年增加一倍。檢查1700年至1961的260年人口實(shí)際數(shù)量，發(fā)現(xiàn)兩者幾乎完全一致，且按馬氏模型計(jì)算，人口數(shù)量每34.6年增加一倍，兩者也幾乎相同。模型預(yù)測(cè)假如人口數(shù)真能保持每34.6年增加一倍，那么人口數(shù)將以幾何級(jí)數(shù)的方式增長(zhǎng)。例如，到2510年，人口達(dá)2

3、×1014個(gè)，即使海洋全部變成陸地，每人也只有9.3平方英尺的活動(dòng)范圍，而到2670年，人口達(dá)36×1015個(gè)，只好一個(gè)人站在另一人的肩上排成二層了。故馬爾薩斯模型是不完善的。幾何級(jí)數(shù)的增長(zhǎng)Malthus模型實(shí)際上只有在群體總數(shù)不太大時(shí)才合理，到總數(shù)增大時(shí)，生物群體的各成員之間由于有限的生存空間，有限的自然資源及食物等原因，就可能發(fā)生生存競(jìng)爭(zhēng)等現(xiàn)象。所以Malthus模型假設(shè)的人口凈增長(zhǎng)率不可能始終保持常數(shù)，它應(yīng)當(dāng)與人口數(shù)量有關(guān)。模型2Logistic模型人口凈增長(zhǎng)率應(yīng)當(dāng)與人口數(shù)量有關(guān)，即：r=r(N)從而有：（1）r(N)是未知函數(shù)，但根據(jù)實(shí)際背景，

4、它無法用擬合方法來求。為了得出一個(gè)有實(shí)際意義的模型，我們不妨采用一下工程師原則。工程師們?cè)诮?shí)際問題的數(shù)學(xué)模型時(shí)，總是采用盡可能簡(jiǎn)單的方法。r(N)最簡(jiǎn)單的形式是常數(shù)，此時(shí)得到的就是馬爾薩斯模型。對(duì)馬爾薩斯模型的最簡(jiǎn)單的改進(jìn)就是引進(jìn)一次項(xiàng)（競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)）對(duì)馬爾薩斯模型引入一次項(xiàng)（競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)），令r(N)=r-aN此時(shí)得到微分方程：或（2）（2）被稱為L(zhǎng)ogistic模型或生物總數(shù)增長(zhǎng)的統(tǒng)計(jì)籌算律，是由荷蘭數(shù)學(xué)生物學(xué)家弗赫斯特（Verhulst）首先提出的。一次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)的，因?yàn)楫?dāng)種群數(shù)量很大時(shí)，會(huì)對(duì)自身增大產(chǎn)生抑制性，故一次項(xiàng)又被稱為競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)。（2）可改寫成：（

5、3）(3)式還有另一解釋，由于空間和資源都是有限的，不可能供養(yǎng)無限增長(zhǎng)的種群個(gè)體，當(dāng)種群數(shù)量過多時(shí)，由于人均資源占有率的下降及環(huán)境惡化、疾病增多等原因，出生率將降低而死亡率卻會(huì)提高。設(shè)環(huán)境能供養(yǎng)的種群數(shù)量的上界為K（近似地將K看成常數(shù)），N表示當(dāng)前的種群數(shù)量，K-N恰為環(huán)境還能供養(yǎng)的種群數(shù)量，（3）指出，種群增長(zhǎng)率與兩者的乘積成正比，正好符合統(tǒng)計(jì)規(guī)律，得到了實(shí)驗(yàn)結(jié)果的支持，這就是（3）也被稱為統(tǒng)計(jì)籌算律的原因。圖1對(duì)（3）分離變量：兩邊積分并整理得：令N(0)=N0，求得：故（3）的滿足初始條件N(0)=N0的解為：（4）易見：N(0)=N0，N(t)

6、的圖形請(qǐng)看圖1模型檢驗(yàn)用Logistic模型來描述種群增長(zhǎng)的規(guī)律效果如何呢？1945年克朗皮克（Crombic）做了一個(gè)人工飼養(yǎng)小谷蟲的實(shí)驗(yàn)，數(shù)學(xué)生物學(xué)家高斯（E·F·Gauss）也做了一個(gè)原生物草履蟲實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果都和Logistic曲線十分吻合。大量實(shí)驗(yàn)資料表明用Logistic模型來描述種群的增長(zhǎng)，效果還是相當(dāng)不錯(cuò)的。例如，高斯把5只草履蟲放進(jìn)一個(gè)盛有0.5cm3營養(yǎng)液的小試管，他發(fā)現(xiàn)，開始時(shí)草履蟲以每天230.9%的速率增長(zhǎng)，此后增長(zhǎng)速度不斷減慢，到第五天達(dá)到最大量375個(gè)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與r=2.309，a=0.006157，N(0)=5的Logi

7、stic曲線：幾乎完全吻合，見圖2。圖2Malthus模型和Logistic模型的總結(jié)Malthus模型和Logistic模型均為對(duì)微分方程（1）所作的模擬近似方程。前一模型假設(shè)了種群增長(zhǎng)率r為一常數(shù)，（r被稱為該種群的內(nèi)稟增長(zhǎng)率）。后一模型則假設(shè)環(huán)境只能供養(yǎng)一定數(shù)量的種群，從而引入了一個(gè)競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)。用模擬近似法建立微分方程來研究實(shí)際問題時(shí)必須對(duì)求得的解進(jìn)行檢驗(yàn)，看其是否與實(shí)際情況相符或基本相符。相符性越好則模擬得越好，否則就得找出不相符的主要原因，對(duì)模型進(jìn)行修改。Malthus模型與Logistic模型雖然都是為了研究種群數(shù)量的增長(zhǎng)情況而建立的，但它們也

8、可用來研究其他實(shí)際問題，只要這些實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型有相同的微分方程即可。新產(chǎn)品的推廣經(jīng)濟(jì)學(xué)家和