微分方程建模

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1、微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用前言：怎樣做數(shù)模？或：怎樣完成一個(gè)數(shù)模題目？讀懂問題1、讀懂問題本身，2、讀懂相應(yīng)的背景資料，3、尋找別人的解決方法。適當(dāng)添加條件就是添加假設(shè)，將問題可能的解析固定。建立模型1、固定符號(hào)；2、介紹原理；3、數(shù)學(xué)模型；．求出答案1、模型求解；2、參數(shù)討論還原實(shí)際問題適度的討論：總結(jié)與發(fā)揮最后，寫成文章怎樣寫成文章呢？四個(gè)字：實(shí)話實(shí)說！或者：怎么做的就怎么寫。摘要一篇數(shù)模文章的摘要和科技文章的摘要不同，它要比較詳細(xì)：應(yīng)該包括：主要問題的主要模型，主要的結(jié)果微分方程已有悠久的歷史，而且繼續(xù)保持著進(jìn)一步發(fā)展的活力，

2、其主要原因是它的根源深扎在各種實(shí)際問題之中。NEWTON最早用數(shù)學(xué)方法研究二體問題，其中需要求解的運(yùn)動(dòng)方程是微分方程。他以非凡的積分技巧解決了它，從而在理論上證實(shí)了地球繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)軌道是一個(gè)橢圓，澄清了當(dāng)時(shí)關(guān)于地球?qū)嫐в谔?yáng)的一種悲觀論點(diǎn)。自上世紀(jì)二十年代（特別是第二次世界大戰(zhàn)）以來，微分方程的應(yīng)用范圍不斷擴(kuò)大并深入到機(jī)械、電訊、化工、生物、經(jīng)濟(jì)和其他社會(huì)學(xué)科的各個(gè)領(lǐng)域，各種成功的例子不勝枚舉。在數(shù)學(xué)建模的活動(dòng)中，微分方程也是一個(gè)常用的而且必須掌握的工具。從八十年代的數(shù)?；顒?dòng)以來，已有不少的問題必須使用微分方程來處理。這里，我們通

3、過幾個(gè)例子來看看怎樣利用微分方程來處理一些問題。第一節(jié)人口問題：一階微分方程的應(yīng)用咋一看，用微分方程來建立一個(gè)物種的增長(zhǎng)模型幾乎是不可能的，因?yàn)槿魏我粋€(gè)物種的群體總是整數(shù)變化的，因而不可能是時(shí)間的連續(xù)函數(shù)。不過，如果給定的群體很龐大，那么增加的單一個(gè)體和群體的規(guī)模相比是很微小的。所以我們可以近似假設(shè)大規(guī)模群體隨時(shí)間是連續(xù)可微的變化，因而可用微分方程這一工具來研究。人口問題歷史上許多人都研究過，象馬爾薩斯、馬克思、馬寅初等等。這里介紹兩個(gè)經(jīng)典的模型。一馬爾薩斯（Malthus，1766—1834）模型設(shè)時(shí)刻人口數(shù)為，則有（1）這個(gè)Ca

4、uchy問題的解為第一節(jié)建立微分方程模型這應(yīng)該是兩個(gè)問題:一是什么時(shí)候需要建立微分方程的模型?二是怎樣建立微分方程的模型.在我看來,第一個(gè)問題是最關(guān)鍵的.那么,什么時(shí)候需要建立微分方程的模型呢?這要從我們的問題入手,在實(shí)際問題中,有許多表示”導(dǎo)數(shù)”的詞,如”速率”、“增長(zhǎng)”（在生物學(xué)及人口問題中）、“衰變”（在放射性問題中）、“邊際”（經(jīng)濟(jì)問題中）等等?！案淖儭薄ⅰ白兓?、“增加”、“減少”這些詞就是信號(hào)，要注意什么在變化，導(dǎo)數(shù)也許可以用上。另外，有些問題中沒有明顯地出現(xiàn)這些詞，但在討論中可能出現(xiàn)一些變量，關(guān)于這些變量的討論就可能要

5、用到微分方程。怎樣建立微分方程的模型呢？首先，想一想，問題是不是遵循什么原則或物理定律？是用已知的定律呢？還是要去推導(dǎo)問題的合適結(jié)果？如果是你不熟悉的領(lǐng)域，就要去找資料，或者請(qǐng)教專家。許多問題都遵循下面的模式：變化=輸入－輸出如果這個(gè)模式出現(xiàn)時(shí)你能理解它，可能微分方程就近在眼前了。其次，要注意：微分方程是一個(gè)在任何時(shí)候都正確的瞬時(shí)表達(dá)式。這是問題的核心。如果你找到了表示導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵詞，就要想去找、及之間的關(guān)系。這個(gè)關(guān)系往往就是你要找的微分方程。建立微分方程，還有幾個(gè)問題要注意：一是單位，要保持單位的一致；二是給定的條件，就是關(guān)于系統(tǒng)在

6、某一特定時(shí)刻的信息。它們獨(dú)立于微分方程而存在，可以用它們來確定有關(guān)的參數(shù)?？偨Y(jié)一下，在一個(gè)典型的微分問題中，以下的步驟是必須的：把用文字語(yǔ)言描述的情況轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言陳述所涉及的原則或物理定律建立微分方程給定條件求微分方程的解求出參數(shù)問題的答案最后，對(duì)照實(shí)際問題檢驗(yàn)?zāi)愕拇鸢?，想想答案的合理性，不足之處怎么解決。如果以上步驟都完成了，問題也就解決了。例子例一：減肥問題一個(gè)人怎樣才能減肥呢？好象有許多方式，但歸納起來也就是物理或手術(shù)。而物理也不外乎兩種：一是減少攝入量，二是增加消耗量。分析：若某人的食量是M卡/日，他每天的自動(dòng)消耗為A卡/

7、日，他健身的消耗大約是B卡/公斤/日，假設(shè)以脂肪形式存在的熱量100%有效，而1公斤脂肪含熱量10000卡。看這個(gè)人的體重隨時(shí)間變化情況。解：設(shè)這人時(shí)刻的體重為公斤顯然，體重每天的變化=吸收量/天－消耗量/天取天消耗量/天=AB于是得到微分方程（注意單位）：其解為：其中C為參數(shù)，將初始值代入，得：C=若M=2500，A=1200，B=16，=100，則C=－300例二BobBeamon的跳遠(yuǎn)記錄1968年的墨西哥奧運(yùn)會(huì)上，BobBeamon創(chuàng)造了一個(gè)跳遠(yuǎn)記錄：8.90米，這個(gè)成績(jī)遠(yuǎn)超以前的成績(jī)55cm。有人認(rèn)為這是由于墨西哥城空氣稀

8、薄造成的（墨西哥城海拔2600米），稀薄空氣意味跳遠(yuǎn)者比較小的阻力。真是如此嗎？我們這里提供一個(gè)分析由物理定律:這里代表空氣阻力,有以下公式:其中代表阻力系數(shù),通常取0.375，A代表跳遠(yuǎn)者和空氣接觸的面積,是空氣密度。A=0.75;