§3.1 微分方程與微分方程建模法new

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1、第三章微分方程模型3.1微分方程與微分方程建模法一、微分方程知識(shí)簡(jiǎn)介我們要掌握常微分方程的一些基礎(chǔ)知識(shí)，對(duì)一些可以求解的微分方程及其方程組，要求掌握其解法，并了解一些方程的近似解法。微分方程的體系：(1)初等積分法（一階方程及幾類可降階為一階的方程）(2)一階線性微分方程組（常系數(shù)線性微分方程組的解法）(3)高階線性微分方程（高階線性常系數(shù)微分方程解法）。其中還包括了常微分方程的基本定理。0．常數(shù)變易法：常數(shù)變易法在上面的（1）（2）（3）三部分中都出現(xiàn)過，它是由線性齊次方程（一階或高階）或方程組的解經(jīng)常數(shù)變易后求相應(yīng)的非齊次方程或方程組的解的一種方法。1．初等積分法

2、：掌握變量可分離方程、齊次方程的解法，掌握線性方程的解法，掌握全微分方程（含積分因子）的解法，會(huì)一些一階隱式微分方程的解法（參數(shù)法），會(huì)幾類可以降階的高階方程的解法（恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程）。分離變量法：（1）可分離變量方程：(2)齊次方程：常數(shù)變易法：(1)線性方程，(2)伯努里方程，積分因子法：化為全微分方程，按全微分方程求解。對(duì)于一階隱式微分方程有參數(shù)法：(1)不含x或y的方程:6(2)可解出x或y的方程：對(duì)于高階方程，有降階法：恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程一階方程的應(yīng)用問題（即建模問題）。2．一階線性微分方程組：本部分主要內(nèi)容有：一是一階線性微分方程組的基本理論（線性齊次、非齊次微分方

3、程組的通解結(jié)構(gòu)，劉維爾公式等），二是常系數(shù)線性微分方程組的解法（求特征根，單根與重根[待定系數(shù)法]），三是常數(shù)變易法。本部分內(nèi)容與線性代數(shù)關(guān)系密切，如線性空間，向量的線性相關(guān)與線性無關(guān)，基與維數(shù)，特征方程、特征根與特征向量，矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型等。3．高階線性微分方程：了解高階線性微分方程的基本理論（線性齊次、非齊次微分方程的通解結(jié)構(gòu)，劉維爾公式等）；n階線性常系數(shù)微分方程解法：（1）求常系數(shù)齊次線性微分方程基本解組的待定指數(shù)函數(shù)法；（2）求一般非齊次線性方程解的常數(shù)變易法；（3）求特殊型非齊次常系數(shù)線性方程解的待定系數(shù)法；（4）求解初值問題的拉普拉斯變換法；（5）求二階

4、線性方程的冪級(jí)數(shù)解法。4．常微分方程的基本定理：常微分方程的幾何解釋（線素場(chǎng)），初值問題解的存在與唯一性定理（條件與結(jié)論），求方程的近似解（歐拉折線法與畢卡逐次逼近法），解的延展定理與比較定理、唯一性定理證明解的存在區(qū)間（如為左右無窮大），奇解與包絡(luò)線，克萊羅方程。5．常微分方程的穩(wěn)定性理論：掌握穩(wěn)定性的一些基本概念，以及運(yùn)用特征根法判斷常系數(shù)線性方程（組）的解的穩(wěn)定性，運(yùn)用李雅普諾夫函數(shù)法判斷一般方程（組）的解的穩(wěn)定性。6．常微分方程的定性理論：掌握定性理論的一些基本概念，運(yùn)用特征根法判斷奇點(diǎn)類型，極限環(huán)。7．差分方程。8．偏微分方程。二、數(shù)學(xué)建模的微分方程方法微分

5、方程作為數(shù)學(xué)科學(xué)的中心學(xué)科，已經(jīng)有三百多年的發(fā)展歷史，其解法和理論已日臻完善，可以為分析和求得方程的解（或數(shù)值解）提供足夠的方法，使得微分方程模型具有極大的普遍性、有效性和非常豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)涵。微分方程建模包括常微分方程建模、偏微分方程建模、差分方程建模及其各種類型的方程組建模。6微分方程建模對(duì)于許多實(shí)際問題的解決是一種極有效的數(shù)學(xué)手段，對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的變化，人們關(guān)注的往往是其變化速度、加速度以及所處位置隨時(shí)間的發(fā)展規(guī)律，其規(guī)律一般可以用微分方程或方程組表示，微分方程建模適用的領(lǐng)域比較廣，利用它可建立純數(shù)學(xué)（特別是幾何）模型，物理學(xué)（如動(dòng)力學(xué)、電學(xué)、核物理學(xué)等）模型，航空

6、航天（火箭、宇宙飛船技術(shù)）模型，考古（鑒定文物年代）模型，交通（如電路信號(hào)，特別是紅綠燈亮的時(shí)間）模型，生態(tài)（人口、種群數(shù)量）模型，環(huán)境（污染）模型，資源利用（人力資源、水資源、礦藏資源、運(yùn)輸調(diào)度、工業(yè)生產(chǎn)管理）模型，生物（遺傳問題、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)問題、動(dòng)植物循環(huán)系統(tǒng)）模型，醫(yī)學(xué)（流行病、傳染病問題）模型，經(jīng)濟(jì)（商業(yè)銷售、財(cái)富分布、資本主義經(jīng)濟(jì)周期性危機(jī)）模型，戰(zhàn)爭(zhēng)（正規(guī)戰(zhàn)、游擊戰(zhàn)）模型等。其中的連續(xù)模型適用于常微分方程和偏微分方程及其方程組建模，離散模型適用于差分方程及其方程組建模。下面，我們給出如何利用方程知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型的幾種方法。1．利用題目本身給出的或隱含的等量關(guān)

7、系建立微分方程模型。這就需要我們仔細(xì)分析題目，明確題意，找出其中的等量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型。例如在光學(xué)里面，旋轉(zhuǎn)拋物面能將放在焦點(diǎn)處的光源經(jīng)鏡面反射后成為平行光線，為了證明具有這一性質(zhì)的曲線只有拋物線，我們就是利用了題目中隱含的條件——入射角等于反射角來建立微分方程模型的[5]。又如在天文學(xué)、氣象學(xué)中常用到的等角軌線，已知曲線或曲線族(c)，求曲線（等角軌線或正交軌線），使與(c)中每條曲線相交成給定的角度（這是題目中明確給出的條件，即曲線的切線相交成給定的角度，這樣，就在它們的導(dǎo)數(shù)之間建立了聯(lián)系），又題目中隱含的條件是：在與(c)中曲線相交點(diǎn)處，它們