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《3.1 微分方程模型的建模步驟》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。
1、第3章微分方程模型3.1微分方程模型的建模步驟在自然科學(xué)以及工程、經(jīng)濟(jì)、醫(yī)學(xué)、體育、生物、社會(huì)等學(xué)科中的許多系統(tǒng)，有時(shí)很難找到該系統(tǒng)有關(guān)變量之間的直接關(guān)系——函數(shù)表達(dá)式，但卻容易找到這些變量和它們的微小增量或變化率之間的關(guān)系式，這時(shí)往往采用微分關(guān)系式來(lái)描述該系統(tǒng)——即建立微分方程模型。我們以一個(gè)例子來(lái)說明建立微分方程模型的基本步驟。例1某人的食量是10467（焦/天），其中5038（焦/天）用于基本的新陳代謝（即自動(dòng)消耗）。在健身訓(xùn)練中，他所消耗的熱量大約是69（焦/公斤?天）乘以他的體重（公斤）。假
2、設(shè)以脂肪形式貯藏的熱量100%地有效，而1公斤脂肪含熱量41868（焦）。試研究此人的體重隨時(shí)間變化的規(guī)律。模型分析在問題中并未出現(xiàn)“變化率”、“導(dǎo)數(shù)”這樣的關(guān)鍵詞，但要尋找的是體重（記為W）關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)。如果我們把體重W看作是時(shí)間t的連續(xù)可微函數(shù)，我們就能找到一個(gè)含有的微分方程。模型假設(shè)1.以表示時(shí)刻某人的體重，并設(shè)一天開始時(shí)人的體重為。2．體重的變化是一個(gè)漸變的過程。因此可認(rèn)為是關(guān)于連續(xù)而且充分光滑的。3．體重的變化等于輸入與輸出之差，其中輸入是指扣除了基本新陳代謝之后的凈食量吸收；輸出就是進(jìn)
3、行健身訓(xùn)練時(shí)的消耗。模型建立問題中所涉及的時(shí)間僅僅是“每天”，由此，對(duì)于“每天”體重的變化=輸入-輸出。由于考慮的是體重隨時(shí)間的變化情況，因此，可得體重的變化/天=輸入/天—輸出/天。代入具體的數(shù)值，得輸入/天=10467（焦/天）—5038（焦/天）=5429（焦/天），輸出/天=69（焦/公斤?天）×（公斤）=69（焦/天）。體重的變化/天=（公斤/天）考慮單位的匹配，利用“公斤/天=”,可建立如下微分方程模型。模型求解用變量分離法求解，模型方程等價(jià)于，積分得，從而求得模型解就描述了此人的體重隨時(shí)
4、間變化的規(guī)律。模型討論現(xiàn)在我們?cè)賮?lái)考慮一下：此人的體重會(huì)達(dá)到平衡嗎?顯然由的表達(dá)式，當(dāng)時(shí)，體重有穩(wěn)定值。我們也可以直接由模型方程來(lái)回答這個(gè)問題。在平衡狀態(tài)下，是不發(fā)生變化的，所以。這就非常直接地給出了。所以，如果我們需要知道的僅僅是這個(gè)平衡值，就不必去求解微分方程了！至此，問題已基本上得以解決。一般地，建立微分方程模型，其方法可歸納為：(1)??根據(jù)規(guī)律列方程。利用數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科中的定理或許多經(jīng)過實(shí)踐或?qū)嶒?yàn)檢驗(yàn)的規(guī)律和定律，如牛頓運(yùn)動(dòng)定律、物質(zhì)放射性的規(guī)律、曲線的切線性質(zhì)等建立問題的微分
5、方程模型。(2)??微元分析法。尋求一些微元之間的關(guān)系式，在建立這些關(guān)系式時(shí)也要用到已知的規(guī)律與定理，與第一種方法不同之處是對(duì)某些微元而不是直接對(duì)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)應(yīng)用規(guī)律。如例1。(3)??模擬近似法。在生物、經(jīng)濟(jì)等學(xué)科的實(shí)際問題中，許多現(xiàn)象的規(guī)律性不很清楚，即使有所了解也是極其復(fù)雜的，常常用模擬近似的方法來(lái)建立微分方程模型、建模時(shí)在不同的假設(shè)下去模擬實(shí)際的現(xiàn)象，這個(gè)過程是近似的，用模擬近似法所建立的微分方程從數(shù)學(xué)上去求解或分析解的性質(zhì)，再去同實(shí)際情況對(duì)比，看這個(gè)微分方程模型能否刻劃、模擬、近似某些實(shí)際現(xiàn)
6、象。本章將結(jié)合例子討論幾個(gè)不同領(lǐng)域中微分方程模型的建模方法
