建模培訓(xùn)-微分方程模型.pdf

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1、微分方程模型2013暑期培訓(xùn)在許多實(shí)際問題中，當(dāng)直接導(dǎo)出變量之間的函數(shù)關(guān)系較為困難，但導(dǎo)出包含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的關(guān)系式較為容易時，可用建立微分方程模型的方法來研究該問題。微分方程建模的對象：涉及“改變”、“變化”、“增加”、“減少”、“衰變”、“邊際”、“速度”、“運(yùn)動”、“追趕”、“逃跑”、、、等等詞語的確定性連續(xù)問題。微分方程建模的基本方法：1利用導(dǎo)數(shù)的意義利用已知的定理與規(guī)律尋找導(dǎo)數(shù)滿足的關(guān)系式。2修改已有的模型……微分方程建模的基本步驟：1按照內(nèi)在規(guī)律建立微分方程；2確定微分方程的定解條件（初、邊值條件）；3求解或討論方

2、程（解析解、數(shù)值解、定性理論、模擬等）；4模型和結(jié)果的討論與分析。例：Malthus模型種群指在一定時間內(nèi)占據(jù)一定空間的同種生物的所有個體。假設(shè)：1假設(shè)該生物種群的自然增長率為常數(shù)λ，2假設(shè)時刻t生物種群數(shù)量為N(t)，由于N(t)的數(shù)量很大，可視為時間t的連續(xù)可微函數(shù)，3假設(shè)在t=0時刻該生物種群的數(shù)量為N。0自然增長率指單位時間內(nèi)種群增量與種群數(shù)量的比例系數(shù)。在Δt時段內(nèi)種群數(shù)量的凈增加量=在t+Δt時刻的種群數(shù)量-在t時刻的種群數(shù)量，即N(t??t)?N(t)??N(t)?t兩邊同除Δt，并令其趨于0，得Malthus模型?d

3、N(t)???N(t)?dt??N(0)?N011馬爾薩斯模型人口預(yù)測x10容易解得3.532.52人?tN/N(t)?N0e1.510.50195020002050210021502200t/年上面的模型的結(jié)果與19世紀(jì)以前歐洲地區(qū)的人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以很好吻合；人們還發(fā)現(xiàn)其他一些地方的人口增長情況比較符合這種指數(shù)增長模型。但是，Malthus模型與19世紀(jì)以后的人口數(shù)據(jù)有較大的差異，表明模型存在一些缺陷。實(shí)際上隨著生物種群數(shù)量的增加，自然資源、環(huán)境因素等對生物種群數(shù)量的阻滯作用越來越明顯。例：Logistic模型在Malthus模型

4、基礎(chǔ)上進(jìn)一步假設(shè)：該生物種群的增長率為種群數(shù)量的函數(shù)f(N);K為自然資源和環(huán)境條件下所能容納的最大生物種群數(shù)量。設(shè)f(N)為N的線性函數(shù)f(N)=a+bN，且f(0)=λ，f(K)=0，則有Nf(N)??(1?)K于是，有下面的Logistic模型?dNN???(1?)N?dtK??N(0)?N0容易解得KNN(t)?K??t1?(?1)eN0N0oLogistic模型合理地給出了受環(huán)境因素制約的生物種群數(shù)量變化情況。將此模型同10世紀(jì)--20本世紀(jì)30年代為止的美國人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)作比較，發(fā)現(xiàn)吻合得相當(dāng)好。1945年克朗比克做了一個

5、人工飼養(yǎng)小谷蟲的實(shí)驗(yàn)，數(shù)學(xué)生物學(xué)家高斯也做了一個草履蟲實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果都和Logistic曲線十分吻合。例：兩種群競爭模型假設(shè)：1甲乙兩個種群在同一自然環(huán)境下爭奪有限的同一種來源；2當(dāng)兩個種群獨(dú)自在同一自然環(huán)境中生存時，數(shù)量的變化均遵從Logistic模型，即有?xx???x(1?1)111??N1?x?x???x(1?2)222??N2其中x1、x2分別為兩種生物種群在時刻t的數(shù)量，λ1，λ2分別為其自然增長率，N1，N2是它們各自的最大容量。3當(dāng)兩個種群在同一個自然環(huán)境下生存時，乙消耗資源對甲的增長產(chǎn)生了阻滯作用，同樣，甲對乙也有

6、阻滯作用。有如下兩種群競爭模型：?xx?12x??x(1???)?1111?NN12?xx?x???x(1?2??1)2222??N2N1或?x??x(??ax?ax)111111122??x?2?x2(?2?a21x2?a22x2)微分方程的求解：#求通解、特解#求數(shù)值解不能求解時，可作定性分析，或模擬方程組的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性(以2階為例)考慮二階微分方程組?dx??f(x,y),?dt?(#)?dy?g(x,y).??dt代數(shù)方程組?f(x,y)?0,??g(x,y)?0.的實(shí)根x=x0、y=y0稱為方程(#)的平衡點(diǎn),記作P0(

7、x0,y0)，它也是方程(#)的常數(shù)解。設(shè)??f(P)?f(P)?00???x?yA?????g(P0)?g(P0)????x?y??則當(dāng)A的特征根均具有負(fù)實(shí)部時，P0局部漸近穩(wěn)定，當(dāng)A有具有正實(shí)部德特征根時，P0不穩(wěn)定。模擬/數(shù)值解對初值問題，可以求其數(shù)值解；非初值問題，可以選定一些初值，模擬解的行為?？紤]食餌-捕食者模型?x??1x?rx(1?)?axx1112?K??x?2??dx2?bx1x2在用Matlab模擬時，先建立方程的M文件functiony=AODEshijian(t,x);%保存時，文件名和函數(shù)名一致，此處為“

8、AODEshijian”y=ones(2,1);r=0.749;K=100;a=0.1;b=0.01;d=0.1;%食餌x(1)-捕食者x(2)模型，%x(1)'=rx(1)(1-x(1)/K)-ax(1)x(2)%x(2)'=-dx