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《常微分方程3.1-3.2new》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第三章初等積分法在微分方程發(fā)展的初期，即從十七世紀(jì)后期Newton和Leibnitz發(fā)明微積分以后直到十八世紀(jì)末，研究的主題是，盡可能設(shè)法把當(dāng)時(shí)遇到的一些類型的微分方程的求解問題化成積分（求原函數(shù)）的問題。這種方法，習(xí)慣上稱為初等積分法。1?這些方法和技巧是由Newton、Leibnitz、Euler和Bernoulli兄弟（JacobBernoulli和JohannBernoulli）等人發(fā)現(xiàn)的。雖然Liouville在1841年證明了大多數(shù)微分方程不能用初等積分方法求解。但這些方法至今仍不失其重要性。這是因?yàn)?，能用初等積
2、分法求解的微分方程，雖然是特殊類型，但確是實(shí)際應(yīng)用中常見和重要的；另外這些方法的思想和技巧對我們處理相關(guān)學(xué)科的其他問題也是有幫助的.23.1.1可分離變量的微分方程一階微分方程的正規(guī)形式：dy?f(x,y)或y??f(x,y)dx可用分離變量法解的一階方程的一般形式dy??(x)??(y)(1)dx具體解法?分離變量：設(shè)?(y)?03dy??(x)dx?(y)?兩邊同時(shí)關(guān)于x求不定積分：dy(x)????(x)dx?(y(x))?寫出通解：(結(jié)果含有一個(gè)任意常數(shù))?(x)??(x)?C?需要注意?(y)的零點(diǎn)y?y0有可能是
3、方程的解，不可遺漏，見以下分析。4例1解方程y??(sinx)(siny.)dy解分離變量??sinxdx,siny??cscydy??sinxdx?ln
4、cscy?coty
5、??cosx?C,11?cosy?cosx?C1即tany??e?cosx?C1???esiny2y?cosx?tan?Ce是原方程的通解。252dy1?y例2求微分方程?的通解.2dx1(?x)xy解分離變量ydxdy?2(?1?y?)0221?yx1(?x)ydx兩邊積分得dy??2?21?yx1(?x)22y1?x?xdy?dx?2?21?yx1
6、(?x)6y1xdy?dx?dx?2??21?yx1?x1212ln(1?y)?lnx?ln(1?x)?C122221(?y)(1?x)又可寫為ln2?2C1x221(?y)(1?x)2C取指數(shù)?e12x222故方程的通解為:1(?x)(1?y)?Cx2C1(其中C?e為任意正常數(shù)).2y?1例3求解定解問題：y??2y)0(?1.解先求通解dy1分離變量2?dx(y??)1y?12兩邊同時(shí)積分得?1y?11y?1ln?x?C1或ln?x?2C1,2y?12y?1y?1x?2C進(jìn)一步???e1y?18y?12Cx或??e1?
7、ey?12Cy?1x記C??e1?0，則?Ce，y?1(允許C取零，則y?1已含在其中.)進(jìn)一步化簡得通解?x1?Cey?(C為任意常數(shù))x1?Ce(若允許C??，則y??1已含在其中.)9再求特解，為此在通解中令x?,01?C1?,?C?,01?C于是所求定解問題的特解為:y?.122例4求解y??(3x?)11(?y),y?.1x?0解先求通解，dy2分離變量?(3x?)1dx21?y10dy2兩邊同時(shí)積分?2?3?(x?)1dx1?y3得arctany?(x?)1?C由條件y?1，?x?03即arctan1?0(?)1
8、?C??C??,1而得到對應(yīng)初始條件的特解：43?arctany?(x?)1??14113.1.2.可化為分離變量方程的方程3.1.2.1齊次方程通常稱以下函數(shù)為齊(5)次函數(shù)2345f(x,y)?xy?2xy?y,更一般地，齊m次函數(shù)具有特性：mf(tx,ty)?tf(x,y)(m為實(shí)常數(shù))當(dāng)m?,0稱f(x,y)為齊零次函數(shù)，如2xx?xyyax?by,,arctan,f()2yxy?yxcx?dy12所以齊(零)次方程的一般形式：dyy??()(1)dxx具體解法y?令u?,于是y?xu,xdydu??u?x(2)dx
9、dxy?將(2)代入(1)得到以u?為未知x函數(shù)的可分離變量的一階方程，13duu?x??(u)dx?分離變量，得dudx?(?(u)?u?)0?(u)?ux?通過積分，求出通解y?(u)?lnx?C即?()?lnx?C.x14?對特殊情況?(u)?u?0的處理：dyyy)1(若?(u)?u?0，即??()?,dxxx其解y?Cx若是原方程的解,不可遺漏；)2(若?u?u,使?(u)?u?0，即000y???(u)?u,故y?ux?C，000也是解,如果沒含在通解中,應(yīng)補(bǔ)上.1522例5解方程(xy?y)dx?(x?2xy)
10、dy?.0dyxy?y222(y/x)?(y/x)解??2dxx?2xy1?(2y/x)2yduu?u令?u，則x?u?xdx1?2udx1?2u分離變量?du(u?)02xu1?2u兩邊積分lnx?du?2u161lnx???2lnu?lnC(C?)011u1C21?lnu?lnux12
