§8-5 微分方程應(yīng)用舉例new

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1、§8-5微分方程應(yīng)用舉例在前面幾節(jié)，已經(jīng)舉了一些力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)方面應(yīng)用微分方程的實(shí)例，本節(jié)將再集中學(xué)習(xí)幾個(gè)在其他方面的應(yīng)用實(shí)例，說明微分方程在許多實(shí)際領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用．應(yīng)用微分方程解決實(shí)際問題通常按下列步驟進(jìn)行：(1)建立模型：分析實(shí)際問題，建立微分方程，確定初始條件；(2)求解方程：求出所列微分方程的通解，并根據(jù)初始條件確定出符合實(shí)際情況的特解；(3)解釋問題：從微分方程的解，解釋、分析實(shí)際問題，預(yù)計(jì)變化趨勢．例1有一個(gè)30′30′12(m3)的車間，空氣中CO2的容積濃度為0.12%．為降低C

2、O2的含量，用一臺風(fēng)量為1500(m3/min)的進(jìn)風(fēng)鼓風(fēng)機(jī)通入CO2濃度為0.04%的新鮮空氣，假定通入的新鮮空氣與車間內(nèi)原有空氣能很快混合均勻，用另一臺風(fēng)量為1500(m3/min)的排風(fēng)鼓風(fēng)機(jī)排出，問兩臺鼓風(fēng)機(jī)同時(shí)開動(dòng)10min后，車間中CO2的容積濃度為多少？解車間體積為10800m3．設(shè)鼓風(fēng)機(jī)開動(dòng)t（min）后，車間空氣中CO2的含量為x=x(t)，那么容積濃度為．記在t到t+dt這段時(shí)間內(nèi)，車間CO2含量的改變量為dx，則dx=該時(shí)間段內(nèi)CO2通入量-該時(shí)間段內(nèi)CO2排出量=單位時(shí)間進(jìn)風(fēng)量

3、′進(jìn)風(fēng)CO2的濃度′時(shí)間-單位時(shí)間排風(fēng)量′排風(fēng)CO2濃度′時(shí)間=1500′0.04%′dt-1500′′dt，于是有=1500′0.04%-1500′即=(4.32-x)初始條件x(0)=10800′0.12%=12.96．方程為可分離變量的方程，其通解為x(t)=4.32+C．將初始條件代入上式，得C=8.64．于是在t時(shí)刻車間內(nèi)空氣中CO2的含量為x(t)=4.32(1+2)．所以鼓風(fēng)機(jī)打開10min后，車間中CO2濃度為=0.06%．例2(馬爾薩斯人口方程)英國人口學(xué)家馬爾薩斯在1798年提出了

4、人口指數(shù)增長模型：人口的增長率與當(dāng)時(shí)的人口總數(shù)成正比．若已知t=t0時(shí)人口總數(shù)為x0，試根據(jù)馬爾薩斯模型，確定時(shí)間t與人口總數(shù)x(t)之間的函數(shù)關(guān)系．據(jù)我國有關(guān)人口統(tǒng)計(jì)的資料數(shù)據(jù)，1990年我國人口總數(shù)為11.6億，在以后的8年中，年人口平均增長率為14.8‰6，假定年增長率一直保持不變，試用馬爾薩斯方程預(yù)測2005年我國的人口總數(shù)．解記t時(shí)的人口總數(shù)為x=x(t)，則人口的增長率為，據(jù)人口指數(shù)增長模型為=rx(t),(r為比例系數(shù)，即馬爾薩斯增長指數(shù))(1)并附初始條件：x(t0)=x．方程是可分離

5、變量方程，易得它的通解為x=Cert．將初始條件x(t0)=代入，得C=x0．于是時(shí)間t與人口總數(shù)x(t)之間的函數(shù)關(guān)系為x(t)=x0．將t=2005,t0=1990,x0=11.6,r=0.0148代入，可預(yù)測出2005年我國的人口總數(shù)為x

6、t=2005=11.6e0.0148′(2005-1990)?14.5(億)．例3有一由電阻、電感串接而成的電路,如圖8-6所示，其中電源電動(dòng)勢E=E0sinwt,(E0,w為常量），電阻R和電感L為常量，在t=0時(shí)合上開關(guān)S，其時(shí)電流為零，求此電路中電流i與

7、時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系．圖8-6~RLSE解由電學(xué)知識，電感L上的感應(yīng)電動(dòng)勢為L，根據(jù)回路電壓定律，有E=Ri+L，即sinwt，(1)初始條件為i(0)=0．方程是一階非齊次線性微分方程，它的通解為i(t)=C+(Rsinwt-wLcoswt)．將初始條件i(0)=0代入上式，得C=．于是所求電流為i(t)=(wL+Rsinwt-wLcoswt),(t30)．例4輕質(zhì)油料滴入靜水中后會(huì)迅速擴(kuò)散，在水面形成一層圓形油膜．設(shè)油膜半徑的增加速度與油膜厚度成正比，滴入油料的體積為V0，油料在水中擴(kuò)散過程中的形狀近

8、似看做圓柱體，初始t=0時(shí)圓柱高度為h0，求油膜半徑與時(shí)間t的關(guān)系．解設(shè)圓柱體油料半徑r=r(t)，厚度h=h(t)，則在任何時(shí)刻t有圖8-7r(t)h(t)pr2(t)×h(t)=V0．(1)兩邊對t求導(dǎo)，得2pr(t)h(t)+pr2(t)=0，據(jù)油膜半徑的增加速度與油膜厚度成正比,,得62kh2(t)+=0，即=-2k(t)．分離變量后成為dh=-2kdt，兩邊積分得=kt+C，或h(t)=．代入(1)，得r（t）=（2）由初始條件pr2(0)h(0)=pr2(0)h0=V0，得r(0)=；代入

9、(2)得C=．回代到(2)，最終得油膜半徑與時(shí)間t的關(guān)系為圖8-8x0r(t)=．例5一邊長為3m的立方體形狀的木材浮于水面上處于平衡位置，然后向水里按下x0(m)后松手，物體會(huì)在上面上下沉浮振動(dòng)(圖8-8)．已知振動(dòng)的周期為2s，水的密度為1，試求物體的質(zhì)量及物體沉浮振動(dòng)的規(guī)律．解設(shè)物體的質(zhì)量為m，物體在時(shí)刻t相對于平衡位置的位移為x，振動(dòng)規(guī)律為x=x(t)．因?yàn)閤是相對于平衡位置的位移，物體所受重力已經(jīng)被抵消，故物體在振動(dòng)過程中只要考慮浮力的作用．假