微分方程應(yīng)用舉例(I)

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1、重點：一、二階微分方程的定義和解法，由通過復(fù)習引出。難點：一些實際應(yīng)用問題用微分方程構(gòu)建數(shù)學(xué)模型及得到符合實際的解，由實例講解方法?？倳r數(shù)：4學(xué)時.1、知道一階和簡單的二階微分方程的解法；2、會用一階微分方程解決實際應(yīng)用問題；3、會用簡單的二階微分方程解決實際應(yīng)用問題?！緦W(xué)習目標】【授課時數(shù)】【重、難點】一、一階微分方程應(yīng)用舉例用微分方程尋求實際問題中未知函數(shù)的一般步驟：⑴分析問題，建立微分方程，確定初始條件；⑵求出微分方程的通解；⑶由初始條件確定通解中任意常數(shù)，得方程相應(yīng)的特解，即為所求函數(shù)．[例1]設(shè)充電電路如圖所示，

2、若在合閘前，化規(guī)律．電容器上的電壓，求合閘后電壓的變由回路電壓定律，得解從而，有分離變量得兩邊積分得把初始條件代入得，即所求的充電電路的電壓的變化規(guī)律是ot設(shè)墓中木炭在時含量為由題設(shè)有分離變量得兩邊積分得解記木炭中含量為,代入方程通解得又由的半衰期為5730年，得解得于是解得當＝0.772時，（年）這表明距1972年初馬王堆一號墓發(fā)掘時，墓中人已死亡約2139年，由2139－1971＝168（年）,即墓中人辛追夫人死亡時間約為公元前168年.[例3]有高為1米的半球形容器,水從它的底部小孔流出,小孔橫截面積為1平方厘米(如

3、圖).開始時容器內(nèi)盛滿了水,求水從小孔流出過程中容器里水面的高度h(水面與孔口中心間的距離)隨時間t的變化規(guī)律.解由力學(xué)知識得,水從孔口流出的流量為流量系數(shù)孔口截面面積重力加速度設(shè)在微小的時間間隔比較(1)和(2)得:水面的高度由h降至,即為未知函數(shù)的微分方程.可分離變量所求規(guī)律為解設(shè)鼓風機開動后時刻的含量為在內(nèi),的通入量的排出量[例4]某車間體積為12000立方米,開始時空氣中含有的,為了降低車間內(nèi)空氣中的含量,用一臺風量為2000立方米/秒的鼓風機通入含的的新鮮空氣,同時以同樣的風量將混合均勻的空氣排出,問鼓風機開動6

4、分鐘后,車間內(nèi)的百分比降低到多少?的改變量的通入量的排出量6分鐘后,車間內(nèi)的百分比降低到x解取為坐標原點，河岸朝順水方向為軸，軸指向?qū)Π叮鐖D所示.設(shè)水流速度為（鴨子的游速為（則鴨子的實際運動速度為）,），x設(shè)在時刻鴨子位于點則鴨子的運動速度為，故有而由此得微分方程令則代入上面方程，得分離變量，得兩邊同時積分，并整理得將代入上式，得鴨跡線的方程為練一練解設(shè)降落傘下落速度為時傘所受空氣阻力為（負號表示阻力與運動方向相反，為常數(shù)）.另外，傘在下降過程中還受重力作用，由牛頓第二定律得對上述方程分離變量得兩邊積分得由初始條件得即故

5、所求特解為由此可見，的增大，速度逐漸變大且趨于常數(shù)，但不會超過這說明跳傘后，開始階段是加速運動，以后逐漸趨于勻速運動．ot隨著二、二階微分方程應(yīng)用舉例用微分方程尋求實際問題中未知函數(shù)的一般步驟：⑴分析問題，建立微分方程，確定初始條件；⑵求出微分方程的通解；⑶由初始條件確定通解中任意常數(shù)，得方程相應(yīng)的特解，即為所求函數(shù)．[例1]設(shè)位于坐標原點的甲艦向位于x軸上點A(1,0)處的乙艦發(fā)射導(dǎo)彈，導(dǎo)彈頭始終對準乙艦．如果乙艦以最大的速度v0（v0是常數(shù)）沿平行于y軸的直線行駛，導(dǎo)彈的速度是5v0，求導(dǎo)彈運行的曲線方程．又乙艦行駛多

6、遠時，導(dǎo)彈將它擊中？解由于導(dǎo)彈頭始終對準乙艦,故此時直線PQ就是導(dǎo)彈的軌跡曲線弧OP在點P處的切線，x于是有R即(1)又根據(jù)題意，弧OP的長度為的5倍，即(2)由(1)(2)消去t整理得模型(3)解得導(dǎo)彈的運行軌跡方程為當時，，即當乙艦航行到點處時被導(dǎo)彈擊中.被擊中時間為.xR解設(shè)質(zhì)點的運動規(guī)律為，根據(jù)牛頓第二定律，質(zhì)點運動的微分方程是由題設(shè)知將代入上式，得從而得，質(zhì)點運動的微分方程是將代入(1)式，得將代入(2)式，得則質(zhì)點的運動規(guī)律為解設(shè)在t時刻通過R的電壓為通過L的電壓為則由基爾霍夫定律，有將它們代入(1)式，得即將

7、E=20，C=0.5，L=1.6，R=4.8代入上式，得解得將初始條件代入(2)、(3)式，得方程組解得將上式代入(2)式，得電壓的變化規(guī)律是ot解如圖所示，取平衡位置為原點，軸的正向向下，受力分析，第二定律，物體的運動滿足微分方程由牛頓運動可得對應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)方程的一個特解為則有代入原方程，整理得比較系數(shù)得從而得故原方程的通解為.①②將初始條件分別代入①②，求得再將得所求物體的運動規(guī)律為和的值代入原方程的通解，練一練解取炮口為原點，建立直角坐標系如圖所示，設(shè)剛開始射擊時t=0，炮彈在t時刻的位置為ox由牛頓運動第二

8、定律，得初始條件由(1)解得由(2)解得由(4)解得將初始條件分別代入(3),(4),(5)得故彈道曲線的方程為通過本課題學(xué)習，學(xué)生應(yīng)該達到：1．會用一階微分方程解實際應(yīng)用問題；2．會用一階微分方程解實際應(yīng)用問題。（一）P119習題7.4；（二）P119習題7.4．【授課小結(jié)】【課后練習】