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《階微分方程應用舉例》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第四節(jié)、一階微分方程應用舉例一、一階微分方程求解二、解微分方程應用問題一、一階微分方程求解1.一階標準類型方程求解關鍵:辨別方程類型,掌握求解步驟2.一階非標準類型方程求解(1)變量代換法——代換自變量代換因變量代換某組合式(2)積分因子法——選積分因子,解全微分方程四個標準類型:可分離變量方程,齊次方程,線性方程,全微分方程例1.求下列方程的通解提示:(1)故為分離變量方程:通解方程兩邊同除以x即為齊次方程,令y=ux,化為分離變量方程.調(diào)換自變量與因變量的地位,用線性方程通解公式求解.化為方法1這是一個齊次方程.方法2化為微分形式故這是一個全微分方程.例2.求下列方程的通解:提
2、示:(1)令u=xy,得(2)將方程改寫為(貝努里方程)(分離變量方程)原方程化為令y=ut(齊次方程)令t=x–1,則可分離變量方程求解化方程為變方程為兩邊乘積分因子用湊微分法得通解:例3.設F(x)＝f(x)g(x),其中函數(shù)f(x),g(x)在(－∞,+∞)內(nèi)滿足以下條件:(1)求F(x)所滿足的一階微分方程;(03考研)(2)求出F(x)的表達式.解:(1)所以F(x)滿足的一階線性非齊次微分方程:(2)由一階線性微分方程解的公式得于是例4.設河邊點O的正對岸為點A,河寬OA=h,一鴨子從點A游向點二、解微分方程應用問題利用共性建立微分方程,利用個性確定定解條件.為平行直線
3、,且鴨子游動方向始終朝著點O,提示:如圖所示建立坐標系.設時刻t鴨子位于點P(x,y),設鴨子(在靜水中)的游速大小為b求鴨子游動的軌跡方程.O,水流速度大小為a,兩岸則關鍵問題是正確建立數(shù)學模型,要點:則鴨子游速b為定解條件由此得微分方程即鴨子的實際運動速度為(求解過程參考P273例3)(齊次方程)思考:能否根據(jù)草圖列方程?練習題:1、已知某曲線經(jīng)過點(1,1),軸上的截距等于切點的橫坐標,求它的方程.提示:設曲線上的動點為M(x,y),令X=0,得截距由題意知微分方程為即定解條件為此點處切線方程為它的切線在縱２、已知某車間的容積為的新鮮空氣問每分鐘應輸入多少才能在30分鐘后使車
4、間空的含量不超過0.06%?提示:設每分鐘應輸入t時刻車間空氣中含則在內(nèi)車間內(nèi)兩端除以并令與原有空氣很快混合均勻后,以相同的流量排出)得微分方程(假定輸入的新鮮空氣輸入,的改變量為t=30時解定解問題因此每分鐘應至少輸入250新鮮空氣.初始條件得k=?作業(yè)P1621、３、５
