微分方程應(yīng)用舉例(II)

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1、第六節(jié)微分方程應(yīng)用舉例一、微分方程的建立與應(yīng)用二、幾何問(wèn)題的簡(jiǎn)單方程模型三、力學(xué)問(wèn)題的簡(jiǎn)單方程模型華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院楊立洪博士一、微分方程的建立與應(yīng)用1．用微分方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般過(guò)程：（3）利用求得的解說(shuō)明它所反映的事實(shí)。（2）求解微分方程；相應(yīng)的初始條件；（1）建立微分方程，并根據(jù)實(shí)際問(wèn)題提出微分方程。（2）間接法：通過(guò)微元分析或數(shù)學(xué)運(yùn)算確定微分方程；（1）直接法：利用有關(guān)的科學(xué)定律直接寫出2．建立微分方程的常用方法：本節(jié)只介紹幾何、力學(xué)方面的例題（3）電學(xué)問(wèn)題：利用電學(xué)中的原理。條件等；（2

2、）力學(xué)問(wèn)題：利用牛頓第二定律，力的平衡（1）幾何問(wèn)題：利用導(dǎo)數(shù)與積分的幾何意義；3．分類二、幾何問(wèn)題的簡(jiǎn)單方程模型利用微分方程處理有關(guān)幾何問(wèn)題時(shí)，導(dǎo)數(shù)與積分的幾何意義常常是建立微分方程的依據(jù)，具體表現(xiàn)在：在解決問(wèn)題過(guò)程中，常常用到切線斜率、面積、體積、弧長(zhǎng)等計(jì)算公式。解設(shè)所求曲線；在曲線上任取一點(diǎn)令，得，故點(diǎn)；由題設(shè)，，即例1求過(guò)定點(diǎn)A(0,a)的曲線，使它的切線MT與X軸的交點(diǎn)T到切點(diǎn)M的距離等于切線在X軸上的截距OT的長(zhǎng)。；M(x,y)，作切線；兩邊積分得即故，這是一族與X軸再由，得，故所求曲線方程為

3、。相切于原點(diǎn)的圓族。,,，則，，這是齊次方程，令化簡(jiǎn)得：例2試在第一象限中求一光滑曲線，使，并且使曲線上任一點(diǎn)處所作X軸的垂線，與兩坐標(biāo)軸以及曲線本身所圍圖形的面積值，等于這段曲線的弧長(zhǎng)值。依題設(shè)有;設(shè)M(x,y)為曲線上任意點(diǎn)，A(0,1)為曲線y解兩邊對(duì)求導(dǎo)，得：∴軸的交點(diǎn)。將代入上式，得C＝1，故所求曲線為即這是可分離變量方程，解之得：，.即,三、力學(xué)問(wèn)題的簡(jiǎn)單方程模型設(shè)降落傘的質(zhì)量為，下落速度為。降落用。重力大小為，方向與一致；阻力大小為（為比例系數(shù)），方向與相反。所以降落傘所受總外力為傘在空中下

4、落時(shí)，受到重力P與阻力R的共同作解例3設(shè)降落傘從跳傘塔下落后，所受空氣阻力與速度成正比，若降落傘離開(kāi)跳傘塔時(shí)（t=0）速度為零，求降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系。該微分方程是可分離變量的方程，分離變量后，根據(jù)牛頓第二定律，函數(shù)滿足方程．整理后，得所求特解為即兩端積分按題意，初始條件為0

5、0==tu,（2）是時(shí)間的單調(diào)增函數(shù)；（1）0＜＜；（3）當(dāng)→＋時(shí)，→，稱為極限速度?？梢?jiàn)，在下落階段，降落傘是加速運(yùn)動(dòng)，但隨著時(shí)間推移，而逐漸接近于勻速運(yùn)動(dòng)。度有如下規(guī)律：從特解的函數(shù)關(guān)系式可以看出，降落傘的下落速設(shè)在海

6、拔米處每平方厘米的大氣壓力為P。其中為大氣密度，又由于大氣壓力與大氣密（為比例常數(shù)），例4設(shè)在海平面上每平方厘米大氣壓力為9.8N，海拔高度為500m時(shí)，每平方厘米大氣壓力為9N，求大氣壓力與海拔高度的關(guān)系。成正比，即等于該空氣柱的重量，即根據(jù)力的平衡條件知，大氣壓力的改變量解，______________________________取一底面積為單位面積，高為的空氣柱，分離變量，并積分得其中。由題設(shè)，代入上式得。因而得大氣壓力與海拔高度的關(guān)系為,,于是，大氣壓力滿足方程,,1．本節(jié)通過(guò)例題介紹微分方程

7、在幾何，力學(xué)小結(jié)：過(guò)程及建立微分方程的方法。2．要求掌握用微分方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般問(wèn)題中的應(yīng)用；重點(diǎn)：壓強(qiáng)、壓力。2．力學(xué)問(wèn)題：牛頓第二定律、力的平衡條件、比例關(guān)系；1．幾何問(wèn)題：切線、面積、弧長(zhǎng)、體積、距離、主要題型：建立微分方程所涉及到的其他知識(shí)。難點(diǎn)：微分方程在幾何、力學(xué)中的應(yīng)用。課堂練習(xí)1．質(zhì)量為100的物體在力的作用下作直線運(yùn)動(dòng)，此力與時(shí)間成正比，與物體運(yùn)動(dòng)速度成反比，已知當(dāng)秒，速度為8米／秒，力為，問(wèn)什么時(shí)刻物體的速度為12米／秒？由牛頓第二定律知，F(xiàn)＝ma，由得C＝63，特解為V2=t2+

8、63，再令V＝12(米/秒),1．解秒時(shí)，V＝8米／秒，F(xiàn)＝故，為通解。課堂練習(xí)題解代入得t＝9秒。從而得，，自測(cè)題2．求通過(guò)點(diǎn)（1，1）的曲線方程，使該曲線在區(qū)間上所形成的曲邊梯形面積的值等于該x＞1。曲線終點(diǎn)的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y之比的2倍減去2，其中1．求一曲線方程，使它通過(guò)原點(diǎn)，且在任一點(diǎn)處的切線斜率等于2x＋y。答案答案3．鐳的衰變速度與所存鐳的質(zhì)量M成正比，已知時(shí)鐳的存量為M0，求在衰變過(guò)程中，鐳的含量M(t)隨時(shí)間t變化的規(guī)律。答案1．解由得，故所求曲線為自測(cè)題題解。這是一階線性非齊次方程，其

9、通解為依題意，原問(wèn)題為yxy+=2'返回2．解方程兩邊求導(dǎo)得由題意有分離變量得。利用初始條件，最后得所求曲線為即。積分得即返回3．解其通解M＝C，再利用初始條件，得，從而得。（k>0）由題設(shè)有返回