數(shù)學建模-隨機微分方程法

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1、§13.常見的數(shù)學建模方法(8)----隨機微分方程法實例:股票價格模型1.股票價格的隨機變化過程股票價格的馬爾科夫性質(zhì)在實際經(jīng)濟生活中,投資者都非常密切地注視著股票市場的變化,總想試圖通過各種各樣的分析,從股票市場的變化中尋找有用的信息而從中獲利.但事實上,這是不可能的!因為假定根據(jù)過去一段時間內(nèi)某種股票價格變化的情況,可以判斷出在未來的一段時間內(nèi),例如在一個月后，這種股票將從現(xiàn)在價格每股10元上漲到每股15元左右.由于一個成熟的市場上,所有的信息在市場上都能有效地(均勻、同時地)傳播,這種股票價格變動的特征立即會被眾多的投資者發(fā)現(xiàn),投資者第二天開市

2、就會馬上買入這種股票,對這種股票的需求也會立即增加,從而導致這種股票的價格當即上揚,變成了每股20元，結(jié)果這種所謂已被“察覺”的一個月后必然獲利機會瞬間就會消失.這說明上面的“根據(jù)股票價格的歷史發(fā)展情況可以推斷出股票價格的今后發(fā)展情況”的假定是不成立的.股票價格變化的這個性質(zhì)被稱為“股價具有弱市場有效性”(theweakformofmarketefficiency).弱市場有效性主要是有兩點內(nèi)涵:其一,現(xiàn)在的價格是過去所有信息的完全反映,沒有任何信息的作用會持續(xù)到以后;其二,對于某種資產(chǎn)的任何新信息,市場會立即作出反映.從數(shù)學上來說,這是一種稱之為馬爾

3、科夫隨機過程所具有的性質(zhì).馬爾科夫過程(Markovprocess)是一種特殊類型的隨機過程.這個過程表明只有變量的當前值與未來的預測有關,而變量過去的歷史和變量從過去到現(xiàn)在的演變方式與未來的預測不相關.或者說,隨機變量過去的取值與今后的取值是相互獨立的.因此,在建立股票價格的數(shù)學模型時,通常的假設是:股票價格遵循馬爾科夫過程.在以下提及的一個的實例中，我們可以看到，這樣的假設能經(jīng)受實踐的檢驗。(2)維納(Wiener)過程i)基本維納過程在馬爾科夫隨機過程的數(shù)學研究中,有一種特殊的馬爾科夫過程,它被稱為基本維納過程(wienerprocesses).

4、物理學中最早用它來描繪某個粒子受到大量小分子碰撞的運動,有時它也被稱為布朗運動(Brownianmotion).如果變量z遵循基本維納過程,則Δz必須滿足兩個基本性質(zhì):其中ε是服從標準正態(tài)分布的一個隨機變量.當Δt→0時,方程(*)可以寫為:.(b)對于任何兩個不同時間間隔Δt,Δz的值是相互獨立的.從性質(zhì)(a),我們推得Δz本身具有正態(tài)分布,其中:Δz的均值=Δz的方差=,Δz的標準差=.性質(zhì)(b)則隱含z遵循馬爾科夫過程.下面我們考慮在一段相當長的時間T中z值的變化量,我們將它表示為:z(T)–z(0).這可以被看作是在N個長度為Δt的小時間間隔中

5、z的變化總量.這里N=T/Δt.因此,z(T)–z(0)=其中εi服從標準正態(tài)分布,且是相互獨立的.由此可得z(T)–z(0)是正態(tài)分布的,且:[z(T)–z(0)]的均值=[z(T)–z(0)]的方差==NΔt=T,因此,,遵循維納過程的隨機變量,在任意長度為T的時間間隔內(nèi)的變化量服從于均值為0、標準差為的正態(tài)分布.當Δt→0時,體現(xiàn)維納過程性質(zhì)(a)的方程(*)可以寫為:.對于維納過程而言,我們常稱其隨機變量在某個時刻的平均值為該變量在該時刻的“平均漂移”,而稱在單位時間處的平均漂移為該維納過程的漂移率;同時還稱此隨機變量在單位時間處的方差值為該維

6、納過程的方差率.上面討論到的維納過程,其漂移率應是0,方差率應是1.這里,漂移率為0,意味著在未來任何時刻,z的期望值等于它的當前值;方差率為1,意味著在長度為T的一段時間段后,z的變化的方差為1×T=T.漂移率為0、方差率為1的維納過程,我們常稱之為基本維納過程.生成基本維納過程的Mathematica軟件程序可以寫為：ii)一般化維納過程(generalizedwienerprocess)在基本維納過程的基礎上,還可以定義一個廣義類型的維納過程.dx=adt+bdz(#)設隨機變量x滿足以下等式:其中a和b為常數(shù),變量z遵循基本維納過程,則稱變量x

7、遵循一般化維納過程.從一般化維納過程的定義式(#)可以看出,adt項表明x是時間t的線性函數(shù),而bdz項可被看作是添加到x的變動軌跡上的噪聲或波動.換言之,一個線性變化過程與一個基本維納(隨機)過程的疊加結(jié)果便是一個一般化維納(隨機)過程.生成一般化維納過程的Mathematica軟件程序可以寫為：隨機微分方程(#)也可改寫為:容易看出,Δx的均值=aΔt,Δx的方差=b2Δt,Δx的標準差=類似i)中的討論可得:[x(T)–x(0)]的均值=aT,[x(T)–x(0)]的方差=b2T,[x(T)–x(0)]的標準差=由此可以說,遵循一般化維納過程的隨

8、機變量x,在任意長度為T的時間間隔內(nèi)的變化量[x(T)–x(0)]服從于均值為aT,方差為b2