數(shù)學(xué)建模-隨機(jī)微分方程法.ppt

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1、§13.常見的數(shù)學(xué)建模方法(8)----隨機(jī)微分方程法實(shí)例:股票價(jià)格模型1.股票價(jià)格的隨機(jī)變化過程股票價(jià)格的馬爾科夫性質(zhì)在實(shí)際經(jīng)濟(jì)生活中,投資者都非常密切地注視著股票市場的變化,總想試圖通過各種各樣的分析,從股票市場的變化中尋找有用的信息而從中獲利.但事實(shí)上,這是不可能的!因?yàn)榧俣ǜ鶕?jù)過去一段時(shí)間內(nèi)某種股票價(jià)格變化的情況,可以判斷出在未來的一段時(shí)間內(nèi),例如在一個(gè)月后，這種股票將從現(xiàn)在價(jià)格每股10元上漲到每股15元左右.由于一個(gè)成熟的市場上,所有的信息在市場上都能有效地(均勻、同時(shí)地)傳播,這種股票價(jià)格變動的特征立即會被眾多的投資者發(fā)現(xiàn),投資者第二天開市就會馬上買入

2、這種股票,對這種股票的需求也會立即增加,從而導(dǎo)致這種股票的價(jià)格當(dāng)即上揚(yáng),變成了每股20元，結(jié)果這種所謂已被“察覺”的一個(gè)月后必然獲利機(jī)會瞬間就會消失.這說明上面的“根據(jù)股票價(jià)格的歷史發(fā)展情況可以推斷出股票價(jià)格的今后發(fā)展情況”的假定是不成立的.股票價(jià)格變化的這個(gè)性質(zhì)被稱為“股價(jià)具有弱市場有效性”(theweakformofmarketefficiency).弱市場有效性主要是有兩點(diǎn)內(nèi)涵:其一,現(xiàn)在的價(jià)格是過去所有信息的完全反映,沒有任何信息的作用會持續(xù)到以后;其二,對于某種資產(chǎn)的任何新信息,市場會立即作出反映.從數(shù)學(xué)上來說,這是一種稱之為馬爾科夫隨機(jī)過程所具有的性質(zhì)

3、.馬爾科夫過程(Markovprocess)是一種特殊類型的隨機(jī)過程.這個(gè)過程表明只有變量的當(dāng)前值與未來的預(yù)測有關(guān),而變量過去的歷史和變量從過去到現(xiàn)在的演變方式與未來的預(yù)測不相關(guān).或者說,隨機(jī)變量過去的取值與今后的取值是相互獨(dú)立的.因此,在建立股票價(jià)格的數(shù)學(xué)模型時(shí),通常的假設(shè)是:股票價(jià)格遵循馬爾科夫過程.在以下提及的一個(gè)的實(shí)例中，我們可以看到，這樣的假設(shè)能經(jīng)受實(shí)踐的檢驗(yàn)。(2)維納(Wiener)過程i)基本維納過程在馬爾科夫隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)研究中,有一種特殊的馬爾科夫過程,它被稱為基本維納過程(wienerprocesses).物理學(xué)中最早用它來描繪某個(gè)粒子受到大

4、量小分子碰撞的運(yùn)動,有時(shí)它也被稱為布朗運(yùn)動(Brownianmotion).如果變量z遵循基本維納過程,則Δz必須滿足兩個(gè)基本性質(zhì):其中ε是服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的一個(gè)隨機(jī)變量.當(dāng)Δt→0時(shí),方程(*)可以寫為:.(b)對于任何兩個(gè)不同時(shí)間間隔Δt,Δz的值是相互獨(dú)立的.從性質(zhì)(a),我們推得Δz本身具有正態(tài)分布,其中:Δz的均值=Δz的方差=,Δz的標(biāo)準(zhǔn)差=.性質(zhì)(b)則隱含z遵循馬爾科夫過程.下面我們考慮在一段相當(dāng)長的時(shí)間T中z值的變化量,我們將它表示為:z(T)–z(0).這可以被看作是在N個(gè)長度為Δt的小時(shí)間間隔中z的變化總量.這里N=T/Δt.因此,z(T)–

5、z(0)=其中εi服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,且是相互獨(dú)立的.由此可得z(T)–z(0)是正態(tài)分布的,且:[z(T)–z(0)]的均值=[z(T)–z(0)]的方差==NΔt=T,因此,,遵循維納過程的隨機(jī)變量,在任意長度為T的時(shí)間間隔內(nèi)的變化量服從于均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布.當(dāng)Δt→0時(shí),體現(xiàn)維納過程性質(zhì)(a)的方程(*)可以寫為:.對于維納過程而言,我們常稱其隨機(jī)變量在某個(gè)時(shí)刻的平均值為該變量在該時(shí)刻的“平均漂移”,而稱在單位時(shí)間處的平均漂移為該維納過程的漂移率;同時(shí)還稱此隨機(jī)變量在單位時(shí)間處的方差值為該維納過程的方差率.上面討論到的維納過程,其漂移率應(yīng)是0,方差率

6、應(yīng)是1.這里,漂移率為0,意味著在未來任何時(shí)刻,z的期望值等于它的當(dāng)前值;方差率為1,意味著在長度為T的一段時(shí)間段后,z的變化的方差為1×T=T.漂移率為0、方差率為1的維納過程,我們常稱之為基本維納過程.生成基本維納過程的Mathematica軟件程序可以寫為：ii)一般化維納過程(generalizedwienerprocess)在基本維納過程的基礎(chǔ)上,還可以定義一個(gè)廣義類型的維納過程.dx=adt+bdz(#)設(shè)隨機(jī)變量x滿足以下等式:其中a和b為常數(shù),變量z遵循基本維納過程,則稱變量x遵循一般化維納過程.從一般化維納過程的定義式(#)可以看出,adt項(xiàng)表明

7、x是時(shí)間t的線性函數(shù),而bdz項(xiàng)可被看作是添加到x的變動軌跡上的噪聲或波動.換言之,一個(gè)線性變化過程與一個(gè)基本維納(隨機(jī))過程的疊加結(jié)果便是一個(gè)一般化維納(隨機(jī))過程.生成一般化維納過程的Mathematica軟件程序可以寫為：隨機(jī)微分方程(#)也可改寫為:容易看出,Δx的均值=aΔt,Δx的方差=b2Δt,Δx的標(biāo)準(zhǔn)差=類似i)中的討論可得:[x(T)–x(0)]的均值=aT,[x(T)–x(0)]的方差=b2T,[x(T)–x(0)]的標(biāo)準(zhǔn)差=由此可以說,遵循一般化維納過程的隨機(jī)變量x,在任意長度為T的時(shí)間間隔內(nèi)的變化量[x(T)–x(0)]服從于均值為aT,

8、方差為b2