微分方程數(shù)學建模ppt課件.ppt

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1、微分方程模型1微分方程解題步驟2傳染病模型3藥物在體內的分布與排除4魚雷擊艦問題動態(tài)模型描述對象特征隨時間(空間)的演變過程分析對象特征的變化規(guī)律預報對象特征的未來性態(tài)研究控制對象特征的手段根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關系確定函數(shù)微分方程建模根據(jù)建模目的和問題分析作出簡化假設按照內在規(guī)律或用類比法建立微分方程1、翻譯或轉化：在實際問題中許多表示導數(shù)的常用詞，如“速率”、‘增長”(在生物學以及人口問題研究中)，“衰變”(在放射性問題中)，以及“邊際的”(在經濟學中)等．2、建立瞬時表達式：根據(jù)自變量有微小改變△t時，因變量的增量△W，建立起在時段△t上的增量表達式

2、，令△t→0，即得到的表達式．一、微分方程模型建模步驟3、配備物理單位：在建模中應注意每一頃采用同樣的物理單位．4、確定條件：這些條件是關于系統(tǒng)在某一特定時刻或邊界上的信息，它們獨立于微分方程而成立，用以確定有關的常數(shù)。為了完整充分地給出問題的數(shù)學陳述，應將這些給定的條件和微分方程一起列出。建立微分方程的其他方法1、按變化規(guī)律直接列方程，如：利用人們熟悉的力學、數(shù)學、物理、化學等學科中的規(guī)律，如牛頓第二定律，放射性物質的放射規(guī)律等。對某些實際問題直接列出微分方程．2、模擬近似法，如：在生物、經濟等學科中，許多現(xiàn)象所滿足的規(guī)律并不很清楚，而且現(xiàn)象也相當復雜，因

3、而需根據(jù)實際資料或大量的實驗數(shù)據(jù)，提出各種假設，在一定的假設下，給出實際現(xiàn)象所滿足的規(guī)律，然后利用適當?shù)臄?shù)學方法得出微分方程。模型一、傳染病模型問題描述傳染病的傳播過程分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律預報傳染病高潮到來的時刻預防傳染病蔓延的手段按照傳播過程的一般規(guī)律，用機理分析方法建立模型已感染人數(shù)(病人)i(t)每個病人每天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為?模型1假設若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加必須區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?模型2區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假設1）總人數(shù)N不變，病人和健康人的比例分別為2）每個病人每天有效接

4、觸人數(shù)為?,且使接觸的健康人致病建模?~日接觸率SI模型模型21/2tmii010ttm~傳染病高潮到來時刻?(日接觸率)??tm?Logistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大模型3傳染病無免疫性——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染增加假設SIS模型3）病人每天治愈的比例為??~日治愈率建模?~日接觸率1/?~感染期?~一個感染期內每個病人的有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù)。模型3i0i0接觸數(shù)?=1~閾值感染期內有效接觸感染的健康者人數(shù)不超過病人數(shù)1-1/?i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt01?>10ti?

5、>11-1/?i0t??1di/dt<0模型4傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱移出者SIR模型假設1）總人數(shù)N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為2）病人的日接觸率?,日治愈率?,接觸數(shù)?=?/?建模需建立的兩個方程模型4SIR模型無法求出的解析解在相平面上研究解的性質模型4消去dtSIR模型相軌線的定義域相軌線11si0D在D內作相軌線的圖形，進行分析si101D模型4SIR模型相軌線及其分析傳染病蔓延傳染病不蔓延s(t)單調減?相軌線的方向P1s0imP1:s0>1/??i(t)先升后降至0P2:s0<1/??i(t)單調降至01/?~閾

6、值P3P4P2S0模型4SIR模型預防傳染病蔓延的手段?(日接觸率)??衛(wèi)生水平??(日治愈率)??醫(yī)療水平?傳染病不蔓延的條件——s0<1/??的估計降低s0提高r0提高閾值1/?降低?(=?/?)??,??群體免疫模型4SIR模型被傳染人數(shù)的估計記被傳染人數(shù)比例x<

7、基本步驟房室——機體的一部分，藥物在一個房室內均勻分布(血藥濃度為常數(shù))，在房室間按一定規(guī)律轉移本節(jié)討論二室模型——中心室(心、肺、腎等)和周邊室(四肢、肌肉等)中心室周邊室給藥排除模型假設中心室(1)和周邊室(2),容積不變藥物在房室間轉移速率及向體外排除速率，與該室血藥濃度成正比藥物從體外進入中心室，在二室間相互轉移,從中心室排出體外模型建立線性常系數(shù)非齊次方程對應齊次方程通解模型建立幾種常見的給藥方式1.快速靜脈注射t=0瞬時注射劑量D0的藥物進入中心室,血藥濃度立即為D0/V1給藥速率f0(t)和初始條件2.恒速靜脈滴注t>T,c1(t)和c2(t)

8、按指數(shù)規(guī)律趨于零藥物以速率k0進入中心室0Tt￡￡吸