資源描述：
《2015數(shù)學(xué)建模-微分方程模型ppt課件.ppt》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、微分方程模型成都東軟學(xué)院數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)微分方程模型（動態(tài)模型）在研究某些實(shí)際問題時，經(jīng)常無法直接得到各變量之間的聯(lián)系，問題的特性往往會給出關(guān)于變化率的一些關(guān)系。利用這些關(guān)系，我們可以建立相應(yīng)的微分方程模型。在自然界以及工程技術(shù)領(lǐng)域中，微分方程模型是大量存在的。它甚至可以滲透到人口問題以及商業(yè)預(yù)測等領(lǐng)域中去，其影響是廣泛的。隨時間(空間)變化的數(shù)量關(guān)系微分方程:含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或微分)的方程解一般的(常)微分方程或微分方程組可以寫成：初值問題：一、微分方程模型的簡單應(yīng)用二、人口模型三、用Matlab軟件求常微分方程的解析解
2、注意：數(shù)學(xué)建模問題通常沒有標(biāo)準(zhǔn)答案，至多只有參考答案。只要是符合實(shí)際、言之有理的答案都是好答案。一、微分方程模型的簡單應(yīng)用思考題：有高為2米的球體容器盛了一半的水，水從它的底部小孔流出，小孔橫截面積為1平方厘米，試求放空容器所需要的時間。二、人口模型1.問題的提出2.假設(shè)和定義3.模型的建立4.分析和求解5.結(jié)論和討論1.問題的提出人口問題是當(dāng)今世界上最令人關(guān)注的問題之一，一些發(fā)展中國家的人口出生率過高，越來越威脅著人類的正常生活，有些發(fā)達(dá)國家的自然增長率趨于零，甚至變?yōu)樨?fù)數(shù)，造成勞動力緊缺，也是不容忽視的問題。另外，在科
3、學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)力飛速發(fā)展的推動下，世界人口以空前的規(guī)模增長，統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示：年1625183019301960197419871999人口（億）5102030405060我國是世界第一人口大國，地球上每九個人中就有二個中國人，在20世紀(jì)的一段時間內(nèi)我國人口的增長速度過快，如下表：年1908193319531964198219902000人口（億）3.04.76.07.210.311.312.95認(rèn)識人口數(shù)量的變化規(guī)律，建立人口模型，作出較準(zhǔn)確的預(yù)報，是有效控制人口增長的前提。2.模型(Malthus模型)18世紀(jì)末，英國人Ma
4、lthus在研究了百余年的人口統(tǒng)計資料后認(rèn)為，在人口自然增長的過程中，凈相對增長率（出生率減去死亡率為凈增長率）是常數(shù)。r=0.2743/10年，xm=4.188數(shù)據(jù)擬合：r=0.2022/10年，xm=6.0450指數(shù)增長模型的應(yīng)用及局限性：與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代可用于短期人口增長預(yù)測不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律不能預(yù)測較長期的人口增長過程19世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)人口增長率r不是常數(shù)(逐漸下降)分析表明，以上這些現(xiàn)象的主要原因是隨著人口的增長，自然資源，環(huán)境條
5、件等因素對人口增長的限制作用越來越顯著。人口較少時，人口的自然增長率基本上是常數(shù)，而當(dāng)人口增加到一定數(shù)量以后，這個增長率就要隨著人口的增加而減少。因此，我們將對指數(shù)模型關(guān)于凈相對增長率是常數(shù)的基本假設(shè)進(jìn)行修改。2.5模型修改模型2Logistic模型人口凈增長率應(yīng)當(dāng)與人口數(shù)量有關(guān)，即：r=r(N)從而有：（3.7）r(N)是未知函數(shù)，但根據(jù)實(shí)際背景，它無法用擬合方法來求。為了得出一個有實(shí)際意義的模型，我們不妨采用一下工程師原則。工程師們在建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型時，總是采用盡可能簡單的方法。r(N)最簡單的形式是常數(shù)，此時得
6、到的就是馬爾薩斯模型。對馬爾薩斯模型的最簡單的改進(jìn)就是引進(jìn)一次項(xiàng)（競爭項(xiàng)）對馬爾薩斯模型引入一次項(xiàng)（競爭項(xiàng)），令r(N)=r-aN此時得到微分方程：或（3.8）（3.8）可改寫成：（3.9）(3.9)式還有另一解釋，由于空間和資源都是有限的，不可能供養(yǎng)無限增長的種群個體，當(dāng)種群數(shù)量過多時，由于人均資源占有率的下降及環(huán)境惡化、疾病增多等原因，出生率將降低而死亡率卻會提高。設(shè)環(huán)境能供養(yǎng)的種群數(shù)量的上界為K（近似地將K看成常數(shù)），N表示當(dāng)前的種群數(shù)量，K-N恰為環(huán)境還能供養(yǎng)的種群數(shù)量，（3.9）指出，種群增長率與兩者的乘積成正比
7、，正好符合統(tǒng)計規(guī)律，得到了實(shí)驗(yàn)結(jié)果的支持，這就是（3.9）也被稱為統(tǒng)計籌算律的原因。圖3-5對（3.9）分離變量：兩邊積分并整理得：令N(0)=N0，求得：故（3.9）的滿足初始條件N(0)=N0的解為：（3.10）易見：N(0)=N0，N(t)的圖形請看圖3.5Malthus模型和Logistic模型的總結(jié)Malthus模型和Logistic模型均為對微分方程（3.7）所作的模擬近似方程。前一模型假設(shè)了種群增長率r為一常數(shù)，（r被稱為該種群的內(nèi)稟增長率）。后一模型則假設(shè)環(huán)境只能供養(yǎng)一定數(shù)量的種群，從而引入了一個競爭項(xiàng)。用
8、模擬近似法建立微分方程來研究實(shí)際問題時必須對求得的解進(jìn)行檢驗(yàn)，看其是否與實(shí)際情況相符或基本相符。相符性越好則模擬得越好，否則就得找出不相符的主要原因，對模型進(jìn)行修改。Malthus模型與Logistic模型雖然都是為了研究種群數(shù)量的增長情況而建立的，但它們也可用來研究其他實(shí)際問題，只要這些實(shí)際問題的數(shù)學(xué)
