數(shù)學(xué)建模：隨機(jī)模型

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1、隨機(jī)模型國(guó)防信息學(xué)院四系軍事運(yùn)籌教研室1確定性因素和隨機(jī)性因素隨機(jī)因素可以忽略隨機(jī)因素影響可以簡(jiǎn)單地以平均值的作用出現(xiàn)隨機(jī)因素影響必須考慮概率模型統(tǒng)計(jì)回歸模型馬氏鏈模型隨機(jī)模型確定性模型隨機(jī)性模型2概率模型--用隨機(jī)變量和概率分布描述隨機(jī)因素的影響，建立隨機(jī)模型。統(tǒng)計(jì)模型--由于客觀事物內(nèi)部規(guī)律的復(fù)雜性及人們認(rèn)識(shí)程度的限制，無(wú)法分析實(shí)際對(duì)象內(nèi)在的因果關(guān)系，建立合乎機(jī)理規(guī)律的模型，通常要搜集大量的數(shù)據(jù)，基于對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析建立隨機(jī)模型。3問(wèn)題：報(bào)童每天清晨從報(bào)社購(gòu)進(jìn)報(bào)紙零售，晚上將沒(méi)有賣掉的報(bào)紙退回。設(shè)報(bào)紙每份的購(gòu)進(jìn)價(jià)

2、為b，零售價(jià)為a，退回價(jià)為c，假設(shè)a>b>c。即報(bào)童售出一份報(bào)紙賺a-b，退回一份賠b-c。報(bào)童每天購(gòu)進(jìn)報(bào)紙?zhí)啵u不完會(huì)賠錢；購(gòu)進(jìn)太少，不夠賣會(huì)少掙錢。試為報(bào)童籌劃一下每天購(gòu)進(jìn)報(bào)紙的數(shù)量，以獲得最大收入?！?報(bào)童的訣竅4問(wèn)題報(bào)童售報(bào)：a(零售價(jià))>b(購(gòu)進(jìn)價(jià))>c(退回價(jià))售出一份賺a-b；退回一份賠b-c每天購(gòu)進(jìn)多少份可使收入最大？分析購(gòu)進(jìn)太多?賣不完退回?賠錢購(gòu)進(jìn)太少?不夠銷售?賺錢少應(yīng)根據(jù)需求確定購(gòu)進(jìn)量每天需求量是隨機(jī)的優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)應(yīng)是長(zhǎng)期的日平均收入每天收入是隨機(jī)的存在一個(gè)合適的購(gòu)進(jìn)量等于每天收入的期

3、望5建模設(shè)每天購(gòu)進(jìn)n份，日平均收入為G(n)調(diào)查需求量的隨機(jī)規(guī)律——每天需求量為r的概率f(r),r=0,1,2…準(zhǔn)備求n使G(n)最大已知售出一份賺a-b；退回一份賠b-c6求解將r視為連續(xù)變量7結(jié)果解釋nP1P2取n使a-b~售出一份賺的錢b-c~退回一份賠的錢0rp8背景一個(gè)人的出生和死亡是隨機(jī)事件一個(gè)國(guó)家或地區(qū)平均生育率平均死亡率確定性模型一個(gè)家族或村落出生概率死亡概率隨機(jī)性模型對(duì)象X(t)~時(shí)刻t的人口,隨機(jī)變量.Pn(t)~概率P(X(t)=n),n=0,1,2,…研究Pn(t)的變化規(guī)律；得到X(t)的

4、期望和方差§2隨機(jī)人口模型9若X(t)=n,對(duì)t到t+?t的出生和死亡概率作以下假設(shè)1)出生一人的概率與?t成正比，記bn?t;出生二人及二人以上的概率為o(?t).2)死亡一人的概率與?t成正比，記dn?t;死亡二人及二人以上的概率為o(?t).3)出生和死亡是相互獨(dú)立的隨機(jī)事件。bn與n成正比，記bn=?n,?~出生概率；dn與n成正比，記dn=?n，?~死亡概率。進(jìn)一步假設(shè)模型假設(shè)10建模為得到Pn(t)=P(X(t)=n),的變化規(guī)律，考察Pn(t+?t)=P(X(t+?t)=n).事件X(t+?t)=n的分

5、解X(t)=n-1,?t內(nèi)出生一人X(t)=n+1,?t內(nèi)死亡一人X(t)=n,?t內(nèi)沒(méi)有出生和死亡其它(出生或死亡二人，出生且死亡一人，……)概率Pn(t+?t)Pn-1(t)bn-1?tPn+1(t)dn+1?tPn(t)(1-bn?t-dn?t)o(?t)11~一組遞推微分方程——求解的困難和不必要(t=0時(shí)已知人口為n0)轉(zhuǎn)而考察X(t)的期望和方差bn=?n，dn=?n微分方程建模12X(t)的期望求解基本方程n-1=kn+1=k13求解比較：確定性指數(shù)增長(zhǎng)模型X(t)的方差E(t)-?(t)?-?=r??

6、D(t)?E(t)+?(t)Et0n0?,???D(t)?X(t)大致在E(t)?2?(t)范圍內(nèi)（?(t)~均方差）r~增長(zhǎng)概率r~平均增長(zhǎng)率141.問(wèn)題建立牙膏銷售量與價(jià)格、廣告投入之間的模型;預(yù)測(cè)在不同價(jià)格和廣告費(fèi)用下的牙膏銷售量.收集了30個(gè)銷售周期本公司牙膏銷售量、價(jià)格、廣告費(fèi)用，及同期其他廠家同類牙膏的平均售價(jià).9.260.556.804.253.70307.930.055.803.853.8029??????8.510.256.754.003.7527.38-0.055.503.803.851銷售量(百

7、萬(wàn)支)價(jià)格差（元）廣告費(fèi)用(百萬(wàn)元)其他廠家價(jià)格(元)本公司價(jià)格(元)銷售周期§3牙膏的銷售量模型15明確問(wèn)題一牙膏的銷售量確定關(guān)系：牙膏銷售量——價(jià)格、廣告投入內(nèi)部規(guī)律復(fù)雜??數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析常用模型??回歸模型??數(shù)學(xué)原理??軟件30個(gè)銷售周期數(shù)據(jù)：銷售量、價(jià)格、廣告費(fèi)用、同類產(chǎn)品均價(jià)銷售周期公司價(jià)(元)它廠價(jià)(元)廣告(百萬(wàn)元)價(jià)差(元)銷售量(百萬(wàn)支)13.853.805.50-0.057.3823.754.006.750.258.51………………293.803.855.800.057.93303.704.256

8、.800.559.26162.基本模型x2yx1yy~公司牙膏銷售量x1~其它廠家與本公司價(jià)格差x2~公司廣告費(fèi)用解釋變量(回歸變量,自變量)被解釋變量（因變量）多元回歸模型17Matlab統(tǒng)計(jì)分析rcoplot(r,rint)殘差及其置信區(qū)間作圖MATLAB7.0版本s增加一個(gè)統(tǒng)計(jì)量:剩余方差s2[b,bint,r,rint,stats]=r