6.2離散序列的相關(guān)函數(shù)

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1、第6章功率譜估計(jì)n離散隨機(jī)序列的特征描述n平穩(wěn)隨機(jī)序列通過LTI系統(tǒng)n經(jīng)典功率譜估計(jì)n現(xiàn)代功率譜估計(jì)6.1離散隨機(jī)序列的特征描述n隨機(jī)過程的分布函數(shù)n隨機(jī)信號的數(shù)字特征n平穩(wěn)各態(tài)遍歷隨機(jī)信號的時(shí)域描述n平穩(wěn)各態(tài)遍歷隨機(jī)信號的頻域描述（功率譜密度）一、隨機(jī)過程的分布函數(shù){X[k],k?Z}表示一個隨機(jī)過程一維分布函數(shù)二維分布函數(shù)N維分布函數(shù)二、隨機(jī)信號的數(shù)字特征均值方差自相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)三、平穩(wěn)各態(tài)遍歷隨機(jī)信號的時(shí)域描述1平穩(wěn)隨機(jī)序列指統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的平移而變化的那一類隨機(jī)序列嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)序列：寬平穩(wěn)隨機(jī)序列：平穩(wěn)隨機(jī)信號自相關(guān)函數(shù)特性（1）對稱性（2）極限值（3）不等式

2、2.各態(tài)遍歷隨機(jī)信號集平均等于時(shí)間平均四、平穩(wěn)各態(tài)遍歷隨機(jī)信號的頻域描述功率譜密度維納——辛欽公式當(dāng)自相關(guān)函數(shù)絕對可積時(shí)，平穩(wěn)隨機(jī)信號的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度是一對傅里葉變換對。6.2平穩(wěn)隨機(jī)序列通過LTI離散時(shí)間系統(tǒng)n輸出序列的均值n輸出序列的自相關(guān)函數(shù)n輸出序列的功率譜n輸入/輸出序列的互相關(guān)函數(shù)及互功率譜平穩(wěn)隨機(jī)序列通過LTI系統(tǒng)一、輸出序列的均值H(ej0)二、輸出序列的自相關(guān)函數(shù)Ry[n]是系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)h[k]的自相關(guān)函數(shù)Rh[n]與輸入隨機(jī)序列X[k]的自相關(guān)函數(shù)Rx[n]的卷積.系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)h[k]是確定信號，其自相關(guān)函數(shù)定義為三、輸出序列的功率譜四

3、、輸入/輸出序列的互相關(guān)函數(shù)及互功率譜互相關(guān)互功率譜[例]一離散時(shí)間平穩(wěn)白噪聲通過一階IIR數(shù)字濾波器求輸出的自相關(guān)函數(shù)、平均功率和功率譜。零均值白噪聲的特征解：（1）計(jì)算輸出的自相關(guān)函數(shù)（2）輸出平均功率（3）輸出功率譜6.3經(jīng)典功率譜估計(jì)n譜估計(jì)的質(zhì)量n相關(guān)法(間接法)n周期圖法(直接法)n周期圖法的改進(jìn)n利用MATLAB實(shí)現(xiàn)功率譜估計(jì)一、譜估計(jì)的質(zhì)量1．估計(jì)量的偏差2．估計(jì)量的方差3．估計(jì)量的均方差二、相關(guān)法(間接法)進(jìn)行功率譜估計(jì)n相關(guān)法的理論基礎(chǔ)n自相關(guān)函數(shù)估計(jì)的計(jì)算n相關(guān)法進(jìn)行功率譜估計(jì)n功率譜估計(jì)的質(zhì)量1.維納—辛欽定理計(jì)算方法：（1）由隨機(jī)序列一個樣本的N

4、個觀測值計(jì)算自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)（2）對進(jìn)行DTFT即得該隨機(jī)序列的功率譜估計(jì)2.自相關(guān)函數(shù)估計(jì)的計(jì)算X[k]是寬平穩(wěn)各態(tài)遍歷隨機(jī)信號，x[k]是其一個樣本已知x[k]的N個觀測值x[0],x[1],?,x[N-1]，則自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)為[例]已知平穩(wěn)各態(tài)遍歷的實(shí)隨機(jī)序列X[k]的單一樣本的N個觀測值為x[k]={1,0，-1}，試計(jì)算該隨機(jī)序列的自相關(guān)函數(shù)估計(jì)。解:利用MATLAB計(jì)算相關(guān)函數(shù)的估計(jì)1.利用conv函數(shù)計(jì)算2.利用數(shù)字處理工具箱中提供的函數(shù)xcorrxcorr(x,y);%隨機(jī)序列X和Y的互相關(guān)xcorr(x);%隨機(jī)序列X的自互相關(guān)利用DFT計(jì)算自相關(guān)函數(shù)

5、的估計(jì)1)對x[k]補(bǔ)零形成L點(diǎn)序列2)3)3.相關(guān)法進(jìn)行功率譜估計(jì)[例]已知實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)序列X[k]單一樣本的N個觀測值為x[k]={1,0，-1}，試?yán)孟嚓P(guān)法估計(jì)其功率譜。解：X[k]的自相關(guān)函數(shù)估計(jì)值為對進(jìn)行傅里葉變換得X[k]的功率譜估計(jì)4.相關(guān)法功率譜估計(jì)的質(zhì)量功率譜估計(jì)的質(zhì)量與自相關(guān)函數(shù)估計(jì)的質(zhì)量密切相關(guān)N?￥，偏差、方差趨于零，是一致估計(jì)。N固定時(shí)，n?N，偏差、方差較大三、周期圖法(直接法)進(jìn)行功率譜估計(jì)n周期圖法功率譜估計(jì)的計(jì)算n周期圖法功率譜估計(jì)的質(zhì)量1.周期圖法功率譜估計(jì)的計(jì)算已知:方法基礎(chǔ):由維納—辛欽定理周期圖法功率譜估計(jì)的步驟其中[例]已知實(shí)平

6、穩(wěn)隨機(jī)序列X[k]單一樣本的N個觀測值為x[k]={1,0，-1}，試?yán)弥芷趫D法估計(jì)其功率譜。解：對x[k]進(jìn)行離散時(shí)間傅里葉變換功率譜估計(jì)為：平穩(wěn)高斯白噪聲功率譜估計(jì)結(jié)果(周期圖法)2.周期圖法功率譜估計(jì)的質(zhì)量均值N￥?，E{IN(W)}=Px(W)}，漸進(jìn)無偏估計(jì)方差N增加，方差不減小，不是一致估計(jì)四、周期圖法的改進(jìn)n問題的提出n平滑周期圖(Blackman-Tukey法)n平均周期圖法(Bartlett法)n重疊平均周期圖法(Welch法)1.問題的提出周期圖法進(jìn)行功率譜估計(jì),方差不隨N的增加減小.如何提高譜估計(jì)質(zhì)量?減小方差方法:1.對自相關(guān)函數(shù)估計(jì)值加窗2.將

7、N個觀測值分段,計(jì)算各段的周期圖,再取平均2.平滑周期圖(Blackman-Tukey法)對自相關(guān)函數(shù)估計(jì)值加窗,將誤差較大的估計(jì)值截去窗函數(shù)w[n](M