定積分基本公式

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1、定積分基本公式?定積分是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的基本概念，在幾何、物理、經(jīng)濟(jì)學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用.本章將由典型實(shí)例引入定積分概念，討論定積分性質(zhì)和計(jì)算方法，舉例說明定積分在實(shí)際問題中的具體運(yùn)用等.?第二節(jié)??微積分基本公式?一、變上限的定積分y=f(x)bxyaφ(x)x設(shè)函數(shù)在[]上連續(xù),，于是積分是一個(gè)定數(shù)，這種寫法有一個(gè)不方便之處，就是既表示積分上限，又表示積分變量.為避免混淆，我們把積分變量改寫成，于是這個(gè)積分就寫成了.當(dāng)在上變動時(shí)，對應(yīng)于每一個(gè)值,積分就有一個(gè)確定的值，因此是變上限的一個(gè)函數(shù)，記作=（?≤≤）通常稱函數(shù)為變上限積分函數(shù)或變上限積分，其幾何意義如圖所示.定理

2、1??如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則變上限積分=在上可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)是??（?≤≤）.推論??連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)一定存在.且函數(shù)=即為其原函數(shù).例1?計(jì)算=在=0,處的導(dǎo)數(shù).解???因?yàn)?,故?；.例2?求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；解?這里是的復(fù)合函數(shù)，其中中間變量，所以按復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，有.(2).解?.二、牛頓-萊布尼茨（Newton-Leibniz）公式定理2?設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，又是的任一個(gè)原函數(shù)，則有.證?由定理1知，變上限積分也是的一個(gè)原函數(shù)，于是知,??為一常數(shù),即.我們來確定常數(shù)的值，為此，令，有，得.因此有.再令，得所求積分為.因此積分值與積分變量的記號無關(guān)，仍用x表示積分變

3、量，即得?,其中.上式稱為牛頓-萊布尼茨公式，也稱為微積分基本公式.為計(jì)算方便，該公式常采用下面的格式：.例1??求定積分：(1)；（2）；（3）.解（1）.（2）.（3）在上寫成分段函數(shù)的形式??????????????????????????????于是.例2?計(jì)算.解??因?yàn)闀r(shí),,故本題屬?型未定式,可以用洛必達(dá)法則來求.這里是的復(fù)合函數(shù),其中,所以?,于是有??????????????????????????????????????????.思考題1.若，2.在牛頓-萊布尼茨公式中，要求被積函數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù).問當(dāng)在區(qū)間上有第一類間斷點(diǎn)時(shí)，還能否用牛頓-萊布尼茨公式計(jì)算定積分

4、？并計(jì)算?其中