平穩(wěn)隨機(jī)過程

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1、第2章平穩(wěn)隨機(jī)過程2．1　平穩(wěn)隨機(jī)過程的基本概念引言“平穩(wěn)”的中文含意：平坦、穩(wěn)定。不大起大落。隨機(jī)過程，當(dāng)變化時，得一系列隨機(jī)變量：，，……。具有“平穩(wěn)”性，是指的變化穩(wěn)定，不“大起大落”，各具有相同的分布規(guī)律、或具有相同的數(shù)字特征、或具有相同的概率密度。在統(tǒng)計學(xué)中，，，……往往假設(shè)滿足“獨立同分布”（）?！蔼毩ⅰ毙圆惶菀诐M足，“同分布”就包含了“平穩(wěn)性”。2．1．1　嚴(yán)平穩(wěn)過程及其數(shù)字特征一、定義隨機(jī)過程的維概率密度（或維分布函數(shù)）不隨時間起點選擇不同而改變。即：對任何和，過程的概率密度滿足：則稱為嚴(yán)平穩(wěn)過程。二、嚴(yán)平穩(wěn)過程的一、二維概率密度結(jié)論：嚴(yán)平穩(wěn)過程的一維概率密度與時

2、間無關(guān)；嚴(yán)平穩(wěn)過程的二維概率密度只與、時間間隔有關(guān)。證明：當(dāng)＝1時，對任何，有。取，則有。當(dāng)＝2時，對任何，有。取，，則。三、嚴(yán)平穩(wěn)過程的數(shù)字特征（1）若是嚴(yán)平穩(wěn)過程，則它的均值、均方值、方差皆為與時間無關(guān)的常數(shù)。26證明：（2）若是嚴(yán)平穩(wěn)過程，則它的自相關(guān)函數(shù)只是間間隔的單變量的函數(shù)。證明：＝2．1．2　寬平穩(wěn)過程　引言：要證明一個過程是來平穩(wěn)過程往往較困難。在理論和應(yīng)用中，只須研究隨機(jī)過程的期望、方差和相關(guān)函數(shù)、功率譜密度等。所以，嚴(yán)平穩(wěn)過程的要求可適當(dāng)放寬。一、定義若隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望為一常數(shù)，其自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔有關(guān)，且它的均方值有限，即：則稱為寬平穩(wěn)過程（或廣義平穩(wěn)過

3、程）。二、舉例：例1　設(shè)隨機(jī)過程，與為常數(shù)，為在上均勻分布的隨機(jī)變量，證明是平穩(wěn)過程。證明：＝＝＝26＝可見，是寬平穩(wěn)過程。例2，設(shè)，，式中是隨機(jī)變量，討論、的平穩(wěn)性。解：是平穩(wěn)過程，因為：不是平穩(wěn)過程，因為：例3　設(shè)隨機(jī)過程，是在上均勻分布的隨機(jī)變量，只能取整數(shù)，證明是平穩(wěn)過程。證明：＝＝＝0＝＝2．2　遍歷性過程引言：在實用中，如何求的數(shù)字特征？以為自變量，是一曲線族。對的測量（考查）時，嚴(yán)格意義上講，無法同時得到多條曲線。問題：只獲得一條曲線時，能否準(zhǔn)確得到的數(shù)字特征？2..2.1　遍歷性過程定義一、隨機(jī)過程的時間均值、時間自相關(guān)函數(shù)26的含義是：當(dāng)固定時，是隨機(jī)變量的均值。

4、當(dāng)變動時，相對于時間的均值如何求？在時間，以為時間間隔，等間距的抽取個點（），得，，……，其平均值為在隨機(jī)過程沿整個時間軸的兩種時間平均分別稱為時間均值和時間自相關(guān)函數(shù)。與都是隨機(jī)變量。一、遍歷性過程定義設(shè)是平穩(wěn)過程，若滿足：（1）以概率1成立，則稱的均值具有各態(tài)遍歷性。（2）以概率1成立，則稱的自相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)遍歷性。（3）當(dāng)時，以概率1成立，則稱的均方值具有各態(tài)遍歷性。如果的時間均值、時間自相關(guān)函數(shù)、時間均方值都具有遍歷性，則稱是遍歷過程。2..2.2　計算舉例例4　設(shè)隨機(jī)過程，與為常數(shù)，為在上均勻分布的隨機(jī)變量，討論的遍歷性。解：是遍歷過程，因為：26　　　　　?。嚼?　，

5、是隨機(jī)變量，討論的遍歷性。解，不是遍歷過程，因為：　，而是隨機(jī)變量，所以。原因分析：的取值與時間無關(guān)，當(dāng)時間變動時，可能取某個隨機(jī)值而變動。2..2.3、隨機(jī)過程具備遍歷性的條件一、遍歷過程必須是平穩(wěn)的。（平穩(wěn)過程不一定是遍歷的）。二、平穩(wěn)過程的均值具備遍歷性的充要條件是：一、平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)具備遍歷性的充要條件是：式中　二、對于正態(tài)平穩(wěn)過程，若均值為0，自相關(guān)函數(shù)連續(xù)，此過程具備遍歷性的一個充要條件是：。2．3　隨機(jī)過程統(tǒng)計特征的實驗研究方法引言：遍歷過程的有一個很實際的意義：用時間均值來代替隨機(jī)變量的均值，即用一個歷程（一次樣本函數(shù)）來獲取數(shù)學(xué)期望、自相關(guān)、均方值等數(shù)字特征

6、。在具體的工程應(yīng)用中，需要等間距離散采樣，獲取的是離散隨機(jī)數(shù)據(jù)，具體如下：以單位時間為時間間隔，等間距的抽取個點，得個隨機(jī)變量，，……，或記為，，……。在工程應(yīng)用中，得到的是一組樣本值，，…,.利用，，…,來計算隨機(jī)過程的統(tǒng)計特征，是工程中常用的方法。262.3.1、均值估計具有遍歷性，，用時間均值來估計：是的無偏估計，也是極大似然估計。2.3.2、方差估計具有遍歷性，已知方差的估計為：此估計是極大似然估計，是無偏估計。未知，方差的估計為：此估計是漸近無偏估計。2.3.2、自相關(guān)估計按定義，。是的漸近無偏估計。26