高數(shù)同濟21導(dǎo)數(shù)的概念

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1、一、引例二、導(dǎo)數(shù)的定義三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系五、單側(cè)導(dǎo)數(shù)第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念第二章一、引例1.變速直線運動的速度設(shè)描述質(zhì)點運動位置的函數(shù)為則到的平均速度為而在時刻的瞬時速度為自由落體運動2.曲線的切線斜率曲線在M點處的切線割線MN的極限位置MT(當(dāng)時)割線MN的斜率切線MT的斜率兩個問題的共性:瞬時速度切線斜率所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限.類似問題還有:加速度角速度線密度電流強度是速度增量與時間增量之比的極限是轉(zhuǎn)角增量與時間增量之比的極限是質(zhì)量增量與長度增量之比的極限是

2、電量增量與時間增量之比的極限變化率問題二、導(dǎo)數(shù)的定義定義1.設(shè)函數(shù)在點存在,并稱此極限為記作:即則稱函數(shù)若的某鄰域內(nèi)有定義,在點處可導(dǎo),在點的導(dǎo)數(shù).運動質(zhì)點的位置函數(shù)在時刻的瞬時速度曲線在M點處的切線斜率說明:在經(jīng)濟學(xué)中,邊際成本率,邊際勞動生產(chǎn)率和邊際稅率等從數(shù)學(xué)角度看就是導(dǎo)數(shù).若上述極限不存在,在點不可導(dǎo).若也稱在若函數(shù)在開區(qū)間I內(nèi)每點都可導(dǎo),此時導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導(dǎo)函數(shù).記作:注意:就說函數(shù)就稱函數(shù)在I內(nèi)可導(dǎo).的導(dǎo)數(shù)為無窮大.例1.求函數(shù)(C為常數(shù))的導(dǎo)數(shù).解:即例2.求函數(shù)解:三、由定義求

3、導(dǎo)數(shù)說明：對一般冪函數(shù)(為常數(shù))例如，（以后將證明）例3.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:則即類似可證得例4解特別地即例5解即原式是否可按下述方法作:例6.證明函數(shù)在x=0不可導(dǎo).證:不存在,?例7.設(shè)存在,求極限解:原式?例8解?例8四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義曲線在點的切線斜率為若曲線過上升;若曲線過下降;若切線與x軸平行,稱為駐點;若切線與x軸垂直.曲線在點處的切線方程:法線方程:例9.問曲線哪一點有垂直切線?哪一點處的切線與直線平行?寫出其切線方程.解:令得對應(yīng)則在點(1,1),(–1,–1)處與直線平行的切線方程分

4、別為即故在原點(0,0)有垂直切線五、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理1.證:設(shè)在點x處可導(dǎo),存在,因此必有其中故所以函數(shù)在點x連續(xù).注意:函數(shù)在點x連續(xù)未必可導(dǎo).反例:在x=0處連續(xù),但不可導(dǎo).即?例10解說明：其它連續(xù)函數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)舉例0例如,0例如,例如,011/π－1/π在點的某個右鄰域內(nèi)六、單側(cè)導(dǎo)數(shù)若極限則稱此極限值為在處的右導(dǎo)數(shù),記作即(左)(左)例如,在x=0處有定義2.設(shè)函數(shù)有定義,存在,定理2.函數(shù)在點且存在簡寫為在點處右導(dǎo)數(shù)存在定理3.函數(shù)在點必右連續(xù).(左)(左)若函數(shù)與都存在,則

5、稱顯然:在閉區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),在閉區(qū)間上可導(dǎo).可導(dǎo)的充分必要條件是且內(nèi)容小結(jié)1.導(dǎo)數(shù)的實質(zhì):3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:4.可導(dǎo)必連續(xù),但連續(xù)不一定可導(dǎo);5.已學(xué)求導(dǎo)公式:6.判斷可導(dǎo)性不連續(xù),一定不可導(dǎo).直接用導(dǎo)數(shù)定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.2.增量比的極限;切線的斜率;思考與練習(xí)1.函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)區(qū)別:是函數(shù),是數(shù)值;聯(lián)系:注意:有什么區(qū)別與聯(lián)系?？與導(dǎo)函數(shù)2.設(shè)存在,則3.已知則4.若時,恒有問是否在可導(dǎo)?解:由題設(shè)由夾逼準(zhǔn)則故在可導(dǎo),且5.設(shè),問a取何值時,在都存在,并求出解

6、:故時此時在都存在,顯然該函數(shù)在x=0連續(xù).作業(yè)P856,9,13,14(2),16,18牛頓(1642–1727)偉大的英國數(shù)學(xué)家,物理學(xué)家,天文學(xué)家和自然科學(xué)家.他在數(shù)學(xué)上的卓越貢獻是創(chuàng)立了微積分.1665年他提出正流數(shù)(微分)術(shù),次年又提出反流數(shù)(積分)術(shù),并于1671年完成《流數(shù)術(shù)與無窮級數(shù)》一書(1736年出版).他還著有《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》和《廣義算術(shù)》等.萊布尼茲(1646–1716)德國數(shù)學(xué)家,哲學(xué)家.他和牛頓同為微積分的創(chuàng)始人,他在《學(xué)藝》雜志上發(fā)表的幾篇有關(guān)微積分學(xué)的論文中,有的

7、早于牛頓,所用微積分符號也遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓.他還設(shè)計了作乘法的計算機,系統(tǒng)地闡述二進制計數(shù)法,并把它與中國的八卦聯(lián)系起來.備用題解:因為1.設(shè)存在,且求所以在處連續(xù),且存在，證明:在處可導(dǎo).證：因為存在，則有又在處連續(xù),所以即在處可導(dǎo).2.設(shè)故