把高等數(shù)學(xué)變得更容易_續(xù)_

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1、高等數(shù)學(xué)研究Vol.11,No.22STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICSMar.,2008名師論教3把高等數(shù)學(xué)變得更容易(續(xù))1,2,3張景中12(廣州大學(xué)教育軟件研究所廣州510400;華中師范大學(xué)教育部教育3信息技術(shù)工程研究中心武漢430079;中國科學(xué)院成都計算機應(yīng)用研究所成都610041)下面的定理肯定了一致連續(xù)函數(shù)的積分體系唯一性.命題5(一致連續(xù)函數(shù)的積分體系唯一性)設(shè)f(x)在區(qū)間I的任一個閉子區(qū)間上一致連續(xù),S(u,v)和R(u,v)都是f(x)在I上的積分體系,則恒有S(u,v)=R(u,v).證明用反

2、證法.若命題不真,則有I上的u

3、S(u,v)-R(u,v)

4、=E>0.將[u,v]等H分為n段,分點為u=x00和在(0,H]上有定義的正值遞減無界函數(shù)D(x),使當x∈[xk-1,xk]時有MMf(xk)-≤f(x)≤f(xk)+(k=1,?,n)D(h)D(h)由積分系統(tǒng)的非負性可得MM(f(xk)-)h≤S(xk-1,xk)≤(f(xk)+)h(k=1,?,n)D(h)D(h)對k從1到n求和,并記F=f(x1)+?+f(xn),

5、得到MHMHFH-≤S(u,v)≤FH+D(h)D(h)同理有MHMHFH-≤R(u,v)≤FH+D(h)D(h)2MH2MHH可見0<

6、S(u,v)-R(u,v)

7、=E≤,這推出D(h)≤;因h=可以任意小,這與D(h)D(h)En的無界性矛盾,證畢.定理的證明過程,給出了計算定積分數(shù)值的具體方法,與構(gòu)造性方法對更廣泛的函數(shù)類建立積分概念相互呼應(yīng).22例3試證S(u,v)=v-u是f(x)=2x在(-∞,∞)上的唯一積分系統(tǒng).22證明S(u,v)=v-u顯然滿足積分系統(tǒng)定義中的可加性,下面檢驗其是否滿足非負性.若mMf(x)=2x在[u

8、,v]上有上界M和下界m,則顯然有≤u

9、這是一般規(guī)律的特款.命題6設(shè)函數(shù)F(x)在區(qū)間I的任意閉子區(qū)間上一致可導(dǎo),F′(x)=f(x);則二元函數(shù)S(u,v)=F(v)-F(u)是f(x)在區(qū)間I上唯一的積分系統(tǒng).3報告日期:2006-10-28;修改稿:2007-09-21第11卷第2期張景中:把高等數(shù)學(xué)變得更容易(續(xù))3證明先驗證關(guān)于積分系統(tǒng)的兩個條件:(ⅰ)S(u,w)+S(w,v)=(F(w)-F(u))+(F(v)-F(w))=F(v)-F(u)=S(u,v);(ⅱ)設(shè)u

10、v)-F(u)≤M(v-u)即m(v-u)≤S(u,v)≤M(v-u)可見二元函數(shù)S(u,v)=F(v)-F(u)是f(x)在I上的積分系統(tǒng);由命題5和f(x)一致連續(xù)(命題A),可得此積分系統(tǒng)的唯一性,證畢.于是得到:微積分基本定理設(shè)函數(shù)F(x)在[a,b]上一致可導(dǎo),F′(x)=f(x);則有Newton—Leibnizb公式:f(x)dx=F(b)-F(a)∫a類似于傳統(tǒng)方法,也可以利用變上限的定積分來得到上述公式.命題7(變上限定積分的一致可導(dǎo)性)設(shè)f(x)在[a,b]上一致連續(xù),S(u,v)是f(x)在[a,b]上的一個積分系統(tǒng)

11、;令F(x)=S(a,x),則F(x)在[a,b]上一致可導(dǎo),并且F′(x)=f(x).證明由f(x)在[a,b]上一致連續(xù),存在M>0和在(0,b-a]上有定義的正值遞減無界函數(shù)D(x),使在[u,u+h](或[u+h,u])上有MMf(u)-≤f(x)≤f(u)+(1)D(

12、h

13、)D(

14、h

15、)由積分體系的非負性和(1)可得MMh>0時有(f(u)-)h≤S(u,u+h)≤(f(u)+)h(2)D(h)D(h)MMh<0時有(f(u)-)(-h)≤S(u+h,u)≤(f(u)+)(-h)(3)D(-h)D(-h))綜合(2)(3)得M

16、

17、h

18、M

19、h

20、f(u)h-≤S(u,u+h)≤f(u)h+(4)D(

21、h

22、)D(

23、h

24、)由于F(u+h)-F(u)=S(a,u+h)-S(a,u)=S(u,u+h),故從(4)推出D(

25、h

26、)

27、