初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽幾何主要的定理

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1、競(jìng)賽專(zhuān)題講座－幾個(gè)重要定理1.正弦定理△ABC中，設(shè)外接圓半徑為R，則2.余弦定理△ABC中，有關(guān)系???a2=b2+c2-2bccosA；a=ccosB+bcosC；???b2=c2+a2-2cacosB；有時(shí)也用它的等價(jià)形式b=acosC+ccosA；???c2=a2+b2-2abcosC；c=acosB+bcosA.???3.梅涅(Menelaus)勞斯定理（梅氏線(xiàn)）直線(xiàn)截△ABC的邊BC，CA，AB或其延長(zhǎng)線(xiàn)于D、E、F.?則???4.塞瓦定理(Ceva)（塞瓦點(diǎn)）設(shè)O是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，AB、BO、CO分別交對(duì)邊于D、E、F，則5.塞瓦定理逆定理在△ABC三邊所在

2、直線(xiàn)BC、CA、AB上各取一點(diǎn)D、E、F，若則AD、BE、CE平行或共點(diǎn)。6.斯特瓦爾特定理在△ABC中，若D是BC上一點(diǎn)，且BD=p，DC=q，AB=c，AC=b，則7.托勒密(Ptolemy)定理??四邊形的兩對(duì)邊乘積之和等于其對(duì)角線(xiàn)乘積的充要條件是該四邊形內(nèi)接于一圓的充要條件是8.西姆松(Simson)定理（西姆松線(xiàn)）從一點(diǎn)向三角形的三邊所引垂線(xiàn)的垂足共線(xiàn)的充要條件是該點(diǎn)落在三角形的外接圓上4例題：例11．設(shè)AD是△ABC的邊BC上的中線(xiàn)，直線(xiàn)CF交AD于F。求證：?！痉治觥緾EF截△ABD→（梅氏定理）【評(píng)注】也可以添加輔助線(xiàn)證明：過(guò)A、B、D之一作CF的平行線(xiàn)例2　

3、2、過(guò)△ABC的重心G的直線(xiàn)分別交AB、AC于E、F，交CB于D。求證：?！痉治觥窟B結(jié)并延長(zhǎng)AG交BC于M，則M為BC的中點(diǎn)。DEG截△ABM→（梅氏定理）DGF截△ACM→（梅氏定理）∴===1【評(píng)注】梅氏定理3．D、E、F分別在△ABC的BC、CA、AB邊上，，AD、BE、CF交成△LMN。求S△LMN。【分析】梅氏定理4．以△ABC各邊為底邊向外作相似的等腰△BCE、△CAF、△ABG。求證：AE、BF、CG相交于一點(diǎn)?！痉治觥咳叨ɡ?．已知△ABC中，∠B=2∠C。求證：AC2=AB2+AB·BC?！痉治觥客欣彰芏ɡ磉^(guò)A作BC的平行線(xiàn)交△ABC的外接圓于D，連結(jié)BD

4、。則CD=DA=AB，AC=BD。由托勒密定理，AC·BD=AD·BC+CD·AB。46．已知正七邊形A1A2A3A4A5A6A7。求證：?！痉治觥客欣彰芏ɡ?．過(guò)圓外一點(diǎn)P作圓的兩條切線(xiàn)和一條割線(xiàn)，切點(diǎn)為A,B.所作割線(xiàn)交圓于C,D兩點(diǎn)，C在P,D之間.在弦CD上取一點(diǎn)Q,使求證：8．△ABC的BC邊上的高AD的延長(zhǎng)線(xiàn)交外接圓于P，作PE⊥AB于E，延長(zhǎng)ED交AC延長(zhǎng)線(xiàn)于F。求證：BC·EF=BF·CE+BE·CF?！痉治觥课髂匪啥ɡ恚ㄎ髂匪删€(xiàn)）9．正六邊形ABCDEF的對(duì)角線(xiàn)AC、CE分別被內(nèi)分點(diǎn)M、N分成的比為AM：AC=CN：CE=k，且B、M、N共線(xiàn)。求k。（23-

5、IMO-5）【分析】面積法4GBACEFD353040例1如圖，G是ABC內(nèi)一點(diǎn)AG，BG，CG的延長(zhǎng)線(xiàn)分別交對(duì)邊于D，E，F(xiàn)，AGF，BGF，BGD的面積分別為40，30，35。求ABC的面積。例2，已知AC，CE是正六邊行ABCDEF的兩條對(duì)角線(xiàn)，點(diǎn)M，N分別內(nèi)分AC，CE，且使。如果B，M，N三點(diǎn)共線(xiàn)，試求k的值變式，已知AC，CE是正六邊形ABCDEF的兩條對(duì)角線(xiàn)，點(diǎn)M，N分別內(nèi)分AC，CE，且使求證：B，M，N三點(diǎn)共線(xiàn)。例3，如圖，過(guò)ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C作它的外接圓的切線(xiàn)，分別和BC，CA，AB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于P，Q，R。求證：P，Q，R三點(diǎn)共線(xiàn)。例4。設(shè)AF，B

6、E，CD分別是ABC的內(nèi)角平分線(xiàn)，中線(xiàn)和高，且AC=b,AB=c,求證：AF，BE，CD三線(xiàn)共點(diǎn)的充要條件是cosA=例5，在凸四邊形ABCD中，CAB=CAD，E和F分別是邊CD，BC上的點(diǎn)，且滿(mǎn)足CAF=CAE，求證：AC，BE，DF三線(xiàn)共點(diǎn)。變式：在四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC平分BAD。在CD上取一點(diǎn)E，BE與AC相交于G，延長(zhǎng)DG交BC于F。求證：FAC=EAC。4