立體幾何(最簡)

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1、立體幾何一、知識提煉1.四大公理和空間直線【雙基提煉】平面是幾何中最基本的概念之一.在數(shù)學(xué)中,對這一類概念一般不加以定義而只進(jìn)行描述.平面是無限的.因此,“延展平面”與“延長直線”的說法都是錯誤的.我們通常把平面畫成平行四邊形或三角形.四大公理公理1:如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi),那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個平面內(nèi).公理2:如果兩個平面有一個公共點(diǎn),那么它們有且只有一條通過這個點(diǎn)的公共直線.公理3:經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn),有且只有一個平面.推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn),有且只有一個平面.推論2:經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一

2、個平面.推論3:經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個平面.公理4:平行于同一條直線的兩條直線平行.四大公理,支撐著空間世界的骨架.四大公理,立體幾何的邏輯基礎(chǔ)和推理依據(jù).異面直線的定義:不能同在一個平面內(nèi)的兩條直線是異面直線.那么,怎樣判定兩條直線是異面直線呢?方法一:根據(jù)異面直線的定義.方法二:(異面直線的判定定理)過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線,和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線.方法三:反證法.反證法反證法是一種十分重要的證明方法,它在立體幾何的證明中有著廣泛的應(yīng)用,熟練地運(yùn)用反證法是學(xué)習(xí)立體幾何的必備基礎(chǔ)之一.如何用反證法證題呢?它的一般

3、步驟為:(1)反設(shè):即作出與命題結(jié)論相反的假設(shè);(2)歸謬:由所作的假設(shè)出發(fā),通過正確的推理,導(dǎo)出矛盾;(3)判斷:斷定產(chǎn)生矛盾的原因在于所作的假設(shè)是錯誤的,因此證得原來命題結(jié)論的正確性.反證法不同于由因?qū)Ч木C合法和執(zhí)果索因的分析法.它是一種間接證法,由于它的主要特征是“導(dǎo)出矛盾”,因此又叫“歸謬法”.在進(jìn)行反設(shè)時,要注意與原結(jié)論相反的方面是只有一種情形還是有若干種情形.如果只有一種情形,那么只需就這種情形去導(dǎo)出矛盾;如果有若干種情形,那么必須針對每一種情形分別去導(dǎo)出矛盾,后者又稱為“窮舉歸謬法”.怎樣才算歸結(jié)到謬誤,導(dǎo)出矛盾呢?一般地說

4、,從所作的假設(shè)出發(fā),導(dǎo)出的結(jié)果符合下列條件之一者就是“歸謬”:(1)與已知條件相矛盾;(2)與已知公理,定理相矛盾;(3)與所作的假設(shè)相矛盾;(4)與已知定義相矛盾;(5)導(dǎo)出了兩個互相矛盾的結(jié)果.在歸謬的過程中應(yīng)當(dāng)注意:推理過程必須是完全正確的.因?yàn)殄e誤的推理導(dǎo)出的矛盾并不能由此斷言假設(shè)的不正確.另外,必須重視題設(shè)中已知條件的使用,沒有使用已知條件要導(dǎo)出矛盾的結(jié)果是不可能的.12平面圖形直觀圖的畫法原則:橫時長,豎時半,畫角才好看.2.直線與平面平行的判定和性質(zhì)【雙基提煉】如果一條直線和一個平面沒有公共點(diǎn),則說這條直線和這個平面平行.一條

5、直線和一個平面的位置關(guān)系有且只有以下三種:(1)直線在平面內(nèi)----有無數(shù)個公共點(diǎn);(2)直線和平面相交----有且只有一個公共點(diǎn);(3)直線和平面平行----沒有公共點(diǎn).把“直線和平面相交”或“直線和平面平行”的情況統(tǒng)稱為“直線在平面外”.直線與平面平行的判定定理:如果平面外的一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線和這個平面平行.判定定理表明,通過“線線平行證明線面平行”,這是低維升向高維的理論依據(jù).直線與平面平行的性質(zhì)定理:如果一條直線和一個平面平行,經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交,那么這條直線和交線平行.3.直線與平面垂直

6、的判定和性質(zhì)【雙基提煉】直線和平面垂直的定義:如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線都垂直,就稱這條直線和這個平面垂直.“任何一條直線”與“所有直線”是同意語.直線和平面垂直的判定定理:如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直于這個平面.直線和平面垂直的性質(zhì)定理:如果兩條直線同垂直于一個平面,那么這兩條直線平行.推論:如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面,那么另一條也垂直于這個平面.4.斜線、射影、角和距離【雙基提煉】斜線:和平面相交且不與垂直的直線叫做平面的斜線.斜線和的交點(diǎn)叫做斜足,斜線上一點(diǎn)和斜足之間的線段叫做

7、這點(diǎn)到平面的斜線段.射影:過斜線上的一點(diǎn)向平面引垂線,經(jīng)過垂足和斜足的直線叫做斜線在平面上的射影.垂足和斜足間的線段叫做這點(diǎn)到平面的斜線段在平面上的射影.當(dāng)直線⊥平面時,直線在平面內(nèi)的射影就是和的交點(diǎn).斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影一定在斜線的射影上.垂線段和斜線段長定理:垂線段最短;射影相等的兩條斜線段相等,射影較長的斜線段也較長,反之亦然.直線和平面所成的角:一條直線和平面平行,或直線在平面內(nèi),規(guī)定直線和平面成角.直線和平面所成角的范圍是:.斜線和平面所成的角,是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中最小的角(射影角最小).5.三垂

8、線定理及其應(yīng)用【雙基提煉】三垂線定理:在平面內(nèi)的一條直線,如果和這個平面的一條斜線的射影垂直,則它也和這條斜線垂直.12已知:分別是平面的垂線,斜線,是在平面上的射影.(如圖).