參數(shù)的最大似然估計與矩估計

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1、§5.2參數(shù)的最大似然估計與矩估計是在總體類型已知條件下使用的一種參數(shù)估計方法.1.了解最大似然估計法的基本思想；2.熟練使用最大似然法估計未知參數(shù).先看一個簡單例子：一位同學(xué)與一位獵人一起外出打獵.一只野兔從前方竄過.只聽一聲槍響，野兔應(yīng)聲倒下.是誰打中的呢？如果要你推測，只發(fā)一槍便打中,獵人命中的概率一般大于這位同學(xué)命中的概率.看來這一槍是獵人射中的.一、最大似然估計的基本思想一次試驗就出現(xiàn)的事件有較大的概率似然函數(shù)：最大似然法的思想選擇適當(dāng)?shù)?=,使取最大值,即二、求最大似然估計量的步驟對數(shù)似然方

2、程例1設(shè)總統(tǒng)X的概率分布為(1)似然函數(shù)為估計量的評選的三個標(biāo)準(zhǔn)無偏性有效性相合性常用構(gòu)造估計量的方法:3.最小二乘法4.貝葉斯方法……1.最大似然估計法2.矩估計(1)似然函數(shù)為(1)似然函數(shù)為例4設(shè)X1,X2,…Xn是取自總體X的一個樣本(1)似然函數(shù)為三、最大似然估計的性質(zhì)——不變性1.待估參數(shù)的最大似然估計值可能不存在,也可能不惟一.無駐點(diǎn),考察邊界上的點(diǎn).最大似然估計法也適用于分布中含有多個未知參數(shù)的情況：對數(shù)似然方程組(1)似然函數(shù)為易見a越大,b越小,L越大.(1)似然函數(shù)為矩估計法的方法

3、要點(diǎn)：假設(shè)總體X中的待估參數(shù)有l(wèi)個：另設(shè)總體X的k階原點(diǎn)矩EXk存在,記為矩是描述隨機(jī)變量的最簡單的數(shù)字特征。樣本矩一定程度上也反映了總體的特征，用樣本矩來估計與之相應(yīng)的總體矩的方法，稱為矩估計法。便是待估參數(shù)的矩估計量。矩估計法例1設(shè)總體X有分布律X123其中?∈(0,1)為待估參數(shù)。又設(shè)(X1,X2,…,Xn)為總體X的樣本,試求?的矩估計量，并就樣本值(3,1,2,2,3,2),求?的估計值。解由于于是，待估參數(shù)?的矩估計量為對給定樣本值可得?的矩估計值為.本例說明，總體均值和總體方差的矩估計與總

4、體的分布無關(guān)。例4設(shè)總體X服從(a,b)上的均勻分布,其中a,b未知.試求a,b的矩估計。解：由于故于是，由解之，得分別為a，b的矩估計。思考題解答作業(yè)：1921/(1)4用最大似然法估計湖中的魚數(shù)：第二次捕出的有記號的魚數(shù)X是r.v,X具有超幾何分布：為了估計湖中的魚數(shù)N，第一次捕上r條魚，做上記號后放回.隔一段時間后,再捕出S條魚,結(jié)果發(fā)現(xiàn)這S條魚中有k條標(biāo)有記號.根據(jù)這個信息，如何估計湖中的魚數(shù)呢？=L(N;k).需求使L(N;k)達(dá)到最大的N，但用對N求導(dǎo)相當(dāng)困難,故考慮比值：=L(N;k).經(jīng)

5、過簡單的計算知，這個比值大于或小于1，或而定.由需求使L(N;k)達(dá)到最大的N，但用對N求導(dǎo)相當(dāng)困難,故考慮比值：當(dāng)N增大時，序列P{X=k;N}先是上升而后下降;故N的最大似然估計為