參數(shù)的最大似然估計

參數(shù)的最大似然估計

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1、§8.2最大似然估計其中θ是待估參數(shù)當一次抽樣得觀測值得此觀測值的概率為:其分布為設X是取值為的概率與有關(guān),與參數(shù)θ有關(guān)時,記為為待估參數(shù)θ的函數(shù),稱為似然函數(shù).若在處達到最大值,則稱為參數(shù)的最大似然估計值.相應的估計量稱為θ的最大似然估計量.統(tǒng)稱為θ的最大似然估計.離散型隨機變量,其中θ是待估參數(shù),設其密度函數(shù)為當是記為待估參數(shù)θ的函數(shù),稱為似然函數(shù).它的大小反映了落在附近的概率的大小.若在處達到最大值,則稱為參數(shù)的最大似然估計值.相應的估計量稱為θ的最大似然估計量.統(tǒng)稱為θ的最大似然估計.連續(xù)型隨機變量時,由于是的最大值點,一般應滿足條件:從而滿足條件是離散型隨

2、機變量是連續(xù)型隨機變量離散型連續(xù)型求最大似然估計量1.寫出似然函數(shù)X是離散型隨機變量X是連續(xù)型隨機變量當只有一個待估參數(shù)θ時,2.寫出似然方程或3.求解似然方程得到駐點,并判斷駐點是否為最大值點.的步驟:幾種常見分布的最大似然估計量1.0—1分布設總體為待估參數(shù).可統(tǒng)一表示為設一抽樣得觀測值為為似然函數(shù).似然估計值,為的最大似然為的最大為似然函數(shù).估計量.2.泊松分布設總體即λ為待估參數(shù)設樣本觀測值為為似然函數(shù).為似然函數(shù).為λ的最大似然估計值.為λ的最大似然估計量.3.指數(shù)分布設總體服從指數(shù)分布λ為待估參數(shù).求參數(shù)λ的最大似然估計.設樣本觀測值為解可以認為為似然函

3、數(shù).為似然函數(shù).為λ的最大似然估計值.為λ的最大似然估計量.或兩個以上未知參數(shù)時,似然函數(shù)為當有兩個(離散型)或(連續(xù)型)或兩個以上未知參數(shù)時,似然函數(shù)為若此似然函數(shù)在達到最大,則稱為的最大似然估計值,稱為θi的最大似然估計量.估計量相應的此時,一般應滿足條件:或當有兩個求最大似然1.寫出似然函數(shù)X是離散型隨機變量X是連續(xù)型隨機變量當有兩個或兩個以上待估參數(shù)θ時,2.寫出似然方程組3.求解似然方程組,得到駐點,并判斷駐點是否為最大值點.估計量的步驟:4.正態(tài)分布設總體令μ和δ為待估參數(shù),求參數(shù)μ和服從正態(tài)分布的最大似然估計.求參數(shù)μ和δ的最大似然估計.設樣本觀測值為

4、解似然函數(shù)為:令求參數(shù)μ和δ的最大似然估計.似然函數(shù)為為μ的最大似然估計值.似然函數(shù)為為μ的最大似然估計值.為δ的最大似然估計值.為μ的最大似然估計值.為δ的最大似然估計值.μ的最大似然估計量為δ的最大似然估計量為最大似然估計量不一定是無偏估計量令隨機變量的矩1.原點矩則稱對于自然數(shù)如果為隨機變量的階原點矩.設X是隨機變量,存在,1階原點矩就是當時,2階原點矩是當時,2.中心矩稱對于自然數(shù)如果為隨機變量的階中心矩.設X是隨機變量,則存在,也存在.當時,2階中心矩樣本k階原點矩樣本k階中心矩設總體X,是來自的一個樣本.矩估計的基本思想是:用相應的樣本矩去估計總體矩;用

5、相應的樣本矩的函數(shù)去估計總體矩的函數(shù).例已知總體X有密度函數(shù)其它其中θ是未知參數(shù),是來自X的一個樣本.求θ的矩估計量解總體一階原點矩用樣本一階原點矩估計總體一階原點矩,令解得是θ的矩估計量.例總體X的分布未知,但已知總體的期望方差都存在,與是兩個未知參數(shù),求與的矩估計量.解再用樣本的一階、二階原點矩估計總體一階、二階原點矩:解得分別為與的矩估計量.例已知總體X服從區(qū)間上的均勻分布,是未知參數(shù),求與的矩估計量.解因為有兩個未知參數(shù),故將總體的一階、表示為未知參數(shù)的函數(shù):二階原點矩再用樣本的一階原點矩、二階中心矩估計總體一階原點矩、二階中心矩:例已知總體X服從區(qū)間上的均

6、勻分布,是未知參數(shù),求與的矩估計量.解解得分別為與的矩估計量.例已知總體X服從二項分布其中m已知,p未知,(1)求p的矩估計量;(2)求的矩估計量.解總體一階原點矩用樣本一階原點矩估計總體一階原點矩,令解得是p的矩估計量.是的矩估計量.§8.3區(qū)間估計點估計估計當一次抽樣實現(xiàn)后,代入估計量后,用這個數(shù)值點估計沒有反映這個估計值的估計值參數(shù)真值(未知)例如:使用起來區(qū)間估計未知參數(shù)θ.得到樣本觀測值得到一個具體的數(shù)值作為θ的估計值.誤差范圍,把握不大.是用一個統(tǒng)計量可以彌補點估計的這個缺陷.設總體的分布中為了估計θ,所謂區(qū)間估計,以它們?yōu)槎它c得到區(qū)間一旦抽樣實現(xiàn)后,就

7、得到一個具體的區(qū)間,是一個隨機區(qū)間.對這個隨機區(qū)間有兩個要求:要求θ有很大的可能即要求盡可能大.估計的精度要盡可能高,的長度盡可能小.如果重新抽樣,有一個未知參數(shù)θ從總體中抽取樣本就是構(gòu)造兩個統(tǒng)計量即就得到另一即被包含在這個區(qū)間內(nèi).區(qū)間,1.2.定義設θ是一個要估計的參數(shù),若由樣本滿足則稱區(qū)間是θ的稱稱為置信水平,統(tǒng)計量對給定的小正數(shù)確定的兩個置信區(qū)間.分別為置信下限和置信上限.也稱置信度或置信概率.當一次抽樣實現(xiàn)后,得到樣本觀測值即可得到一個具體的區(qū)間,稱為置信區(qū)間的一個實現(xiàn),也稱為置信區(qū)間.和求置信區(qū)間的步驟:1.明確問題,2.尋找待估參數(shù)的3.尋找一個待估

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