畢氏定理(商高定理)的證明

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1、畢氏定理(商高定理)的證明張美玲製作參考資料：數(shù)學的故事(列志佳簡佩華黃家鳴主編九章出版社)中國數(shù)學五千年(李信明著)數(shù)學答問集（曾煥華譯）何謂畢氏定理畢氏定理是指直角三角形的斜邊（hypotenuse）的平方等於另兩邊的平方的和即：股2＋股2＝斜邊2a2＋b2＝c2畢氏定理的名稱來源追索歷史的發(fā)展，畢氏定理中的畢氏即指古希臘的畢達哥拉斯（Pythagoras，約公元前580-550年）。他是公元前五六世紀時的古希臘數(shù)學家。相傳畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)這個定理後，宰了100頭牛來慶祝，故「畢氏定理」又稱

2、「百牛定理」。不過對畢氏發(fā)現(xiàn)畢氏定理，歷史上其實並無確實的記載。在希臘最早而嚴格的證明是在歐幾里得（Euclid，約公元前330-275年）所編寫的《幾何原本》（Elements）中。畢氏定理又稱「商高定理」、「陳子定理」、「勾股定理」中國以前也叫"畢達哥拉斯定理"。50年代初，曾展開關(guān)於這個定理命名問題的討論。有人主張叫做「商高定理」，理由是中國在商高時代(約公元前1100年)已經(jīng)知道「勾三股四弦五」的關(guān)係早於畢達哥拉斯時代，也有人認為3:4:5的關(guān)係，僅僅是特例，到陳子才提出了普遍的定理，故應(yīng)

3、稱為"陳子定理"。後來決定不用人名而稱為"勾股弦定理"，最後確定叫"勾股定理"，因為有勾股就必有弦，故弦字可以省略。商高定理《周髀算經(jīng)》是一部中國最早的數(shù)學著作，同時也是一部天文學著作，這部書是用對話的形式寫成的，書中記載公元前1100年西周時，周公和商高的一段對話「……折矩以為勾廣三、股修四、徑隅五?！埂岩桓背哒鄢梢粋€直角，如果短的一段（稱為「勾」）是3，較長的一段（稱為「股」）是4，那麼尺的兩端距離（直角三角形的斜邊----「弦」）便是5陳子定理此對話雖已清楚指出勾三、股四、弦五的關(guān)係，但

4、是否已掌握普遍的勾股定理，尚未有足夠的證據(jù)來確定。而知道普遍的勾股定理，可算是陳子（約公元前六、七世紀），《周髀算經(jīng)》上寫了陳子測日的方法：「若求邪（同斜）至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日……十萬里」勾股定理把一根直尺折成一個直角，短的一段稱為「勾」，較長的一段稱為「股」，尺的兩端距離（直角三角形的斜邊）稱為「弦」在中國後來決定不用人名而稱為"勾股弦定理"，最後確定叫"勾股定理"，因為有勾股就必有弦，故弦字可以省略。畢氏定理的最古老證明在原古巴比侖所在地出土了一塊西

5、元前1000年的泥版(如下圖)，從雕刻的圖案可見至今最古老的「畢達哥拉斯定理」證明。勾股數(shù)像(3,4,5)這樣的一組能作為直角三角形的邊的正整數(shù),稱為勾股數(shù)。如果這組數(shù)內(nèi)除了1以外,沒有其他公因數(shù),就稱為素勾股數(shù)(primitivePythagoreantriple)。一塊編號為<普林頓322>的巴比侖泥板就有勾股數(shù)的紀錄。常用的素勾股數(shù)：（3,4,5）（5,12,13）（7,24,25）（8,15,17）勾股定理的證明畢氏定理又稱「商高定理」、「陳子定理」、「勾股定理」，是數(shù)學上極重要又簡潔的單

6、一定理古往今來，世界上不同文化、年代的數(shù)學家從不同角度來探討或證明，其證明方式有四百多種，是最多證明的數(shù)學定理。茲列舉幾種證明方式：證法一1.ΔBAF全等於DAC(SAS)2.ACGF的面積＝2×ΔBAF的面積＝2×ΔDAC的面積3..AMLD的面積＝2×ΔDAC的面積4.∴.ACGF的面積＝AMLD的面積5.同理可證BCHK的面積＝BMLE的面積6.∴.ACGF的面積＋BCHK的面積＝ABED的面積即：AC2＋BC2＝AB2動態(tài)展示證法二左下圖的兩個大正方形面積相等同時減掉四個相同的直角三角形即

7、：弦2＝勾2＋股2證法三在中國，最先明確證明勾股定理的是漢朝數(shù)學家趙君卿，他在注《周髀算經(jīng)》中，用4個同樣大小的直角三角形，將他們拼成左邊的圖形，再用代數(shù)式來證明商高定理大正方形的面積＝4個直角三角形＋1個小正方形即a2－2ab＋b2＋2ab＝c2∴a2＋b2＝c2證法四劉徽注＜九章算術(shù)＞裡的商高定理證明劉徽注文：「勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其餘不動也，合成弦方之羃?！顾怯靡杂a虛的方法，用不同的顏色來標記有關(guān)的圖形。動態(tài)展示證法五1.作EL平行BA，CI平行BJ，J

8、M平行BC2.平行四邊形ABEL的面積＝平行四邊形JBCM的面積3.平行四邊形ABEL的面積＝正方形BCDE的面積4.平行四邊形JBCM的面積＝長方形JBHI的面積5.∴正方形BCDE的面積＝長方形JBHI的面積6.同理可證正方形ACFG的面積＝長方形AHIK的面積7.∴.正方形BCDE的面積＋正方形ACFG的面積＝正方形ABJK的面積動態(tài)展示證法六此證明是印度的數(shù)學家巴斯卡拉（公元1114-1185年）所做的，他把左上方兩個圖畫在一起，而只說一聲「看！」後人再畫出左下方兩個圖，