也談矩陣的廣義逆【開題報告】

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1、畢業(yè)設(shè)計開題報告信息與計算科學(xué)也談矩陣的廣義逆一、綜述本課題的研究動態(tài),說明選題的依據(jù)和意義矩陣的現(xiàn)代概念在19世紀(jì)逐漸形成.1801年德國數(shù)學(xué)家高斯（F.Gauss,1777~1855把一個線性變換的全部系數(shù)作為一個整體.1844年,德國數(shù)學(xué)家愛森斯坦（F.Eissenstein,1823~1852）討論了“變換”（矩陣）及其乘積.1850年,英國數(shù)學(xué)家西爾維斯特（JamesJosephSylvester,18414-1897）首先使用矩陣一詞.1858年英國數(shù)學(xué)家凱萊（A.Gayley,1821~

2、1895）發(fā)表《關(guān)于矩陣?yán)碚摰难芯繄蟾妗?他首先將矩陣作為一個獨(dú)立的數(shù)學(xué)對象加以研究,并在這個主題上首先發(fā)表了一系列文章,因而被認(rèn)為是矩陣論的創(chuàng)立者,他給出了現(xiàn)在通用的一系列定義,如兩矩陣相等,零矩陣,單位矩陣,兩矩陣的和,一個數(shù)與一個矩陣的數(shù)量積,兩個矩陣的積,矩陣的逆,轉(zhuǎn)置矩陣等.并且凱萊還注意到矩陣的乘法是可結(jié)合的,但一般不可交換,且矩陣只能用矩陣去右乘.1854年,法國數(shù)學(xué)家埃米爾特（C.Hermite,1822~1901）使用了“正交矩陣”這一術(shù)語,但他的正式定義直到1878年才由德國數(shù)學(xué)家

3、費(fèi)羅貝尼烏斯（F.G.Frohenius,1849~1917）發(fā)表.1879年,費(fèi)羅貝尼烏斯引入矩陣秩的概念.矩陣本身所具有的性質(zhì)依賴于元素的性質(zhì),矩陣由最初作為一種工具經(jīng)過兩個多世紀(jì)的發(fā)展,現(xiàn)在已經(jīng)成為一門數(shù)學(xué)分支——矩陣論.而矩陣論又可分為矩陣分解論和廣義逆矩陣論等矩陣的現(xiàn)代理論.矩陣的應(yīng)用時多方面的,不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里,而且在力學(xué),物理,科技等方面都有十分廣泛的應(yīng)用.廣義逆的概念最早是由I.Fredholm提出的,他給出了積分算廣義逆的定義,并稱為“偽逆”.1904年,D.希爾伯特在廣義格林函數(shù)的

4、討論中,含蓄地提出了微分算子的廣義逆.而任意矩陣的廣義逆定義最早是由E.H.穆爾在1920年提出的,他以抽象的形式發(fā)表在美國數(shù)學(xué)會會刊上,他利用投影矩陣定義了矩陣唯一Moore的廣義逆.1933年,E.H.Moore的學(xué)生Y.Y.Tseng又將Moore廣義逆推廣到了Hilbert空間,提出了Hilbert空間線性算子的廣義逆的概念.20世紀(jì)50年代圍繞著某些廣義逆的最小二乘性質(zhì)的討論重新引起了人們對這個課題的興趣.然而,矩陣的廣義逆真正得到迅速的發(fā)展并在各個領(lǐng)域獲得卓有成效的應(yīng)用實在1955年英國學(xué)

5、者R.Penrose利用四個矩陣方程（現(xiàn)在稱之為Penrose方程組）給出了廣義矩陣的簡潔實用的新定義,即矩陣的Moore廣義逆滿足以下四個矩陣方程：（1），（2），（3），（4）因此,通常稱條件（1）～（4）為Moore-Penrose條件.近五十年來,廣義逆矩陣的理論和應(yīng)用得到了迅速發(fā)展,并在其中扮演著不可或缺的角色,例如微分方程,數(shù)值代數(shù),線性統(tǒng)計推斷,最優(yōu)化,點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)分析,馬爾科夫鏈,系統(tǒng)理論,測量學(xué),等等,特別是在研究最小二問題,長方及病態(tài)線性方程問題,非線性問題,不適定問題,馬爾科夫鏈等統(tǒng)計

6、問題,線性及非線性規(guī)劃問題等之中,廣義逆是不可缺少的工具.因此,至今為止,矩陣及算子廣義逆仍然是國際上非?；钴S的一個研究領(lǐng)域.而且廣義逆理論本身以及相關(guān)的應(yīng)用領(lǐng)域蓋有很多有待進(jìn)一步研究.二、研究的基本內(nèi)容,擬解決的主要問題:研究的基本內(nèi)容：（1）、矩陣廣義逆的定義,（2）、矩陣廣義逆的基本性質(zhì),（3）、矩陣廣義逆的求解方法,（4）、矩陣廣義逆在解矩陣方程中的應(yīng)用,（5）、矩陣初等變換在解矩陣方程中的應(yīng)用.擬解決的主要問題：①了解矩陣廣義逆的定義及其性質(zhì),②研究矩陣廣義逆的計算方法,并利用矩陣的廣義逆求

7、解矩陣方程,③通過矩陣初等變換求解矩陣方程,并給出了具體的實例.三、研究步驟、方法及措施研究步驟:1.查閱相關(guān)資料,做好筆記;2.仔細(xì)查看所搜集的文獻(xiàn)資料;3.在指導(dǎo)老師的指導(dǎo)下,確定論文思路;4.翻譯一篇外文資料;5.撰寫文獻(xiàn)綜述;6.撰寫開題報告;7.修改外文翻譯、文獻(xiàn)綜述、開題報告;8.撰寫畢業(yè)論文;9.上交論文初稿;10.反復(fù)修改論文定稿.方法措施:通過到圖書館,上網(wǎng)等查閱收集資料,上中文學(xué)術(shù)期刊網(wǎng),萬方數(shù)據(jù)庫查找相關(guān)文章,參考相關(guān)內(nèi)容.在老師指導(dǎo)下,通過研究各種方法來解決問題.四、參考文獻(xiàn)[

8、1]鄧勇.長方形矩陣的廣義逆矩陣的計算方法[J].綿陽師范學(xué)院學(xué)報,2008:34~37.[2]吳有為.求廣義逆矩陣的初等變換法[J].數(shù)學(xué)通報,1992:26~27.[3]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.矩陣分析[M].同濟(jì)大學(xué)出版社.2005:153~173.[5]Zhong-pengYang,Chong-GuangCaoandxianzhang.Amatrixinequalityonschurcomplements.J.Appl.Math.&Computing