廣義逆矩陣及其應(yīng)用開題報(bào)告

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1、開題報(bào)告廣義逆矩陣及其應(yīng)用　　　　　一、選題的背景、意義矩陣是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的基本概念，是代數(shù)學(xué)的一個(gè)主要研究對(duì)象，也是數(shù)學(xué)研究和應(yīng)用的一個(gè)重要工具。“矩陣”這個(gè)詞是由西爾維斯特首先使用的，他是為了將數(shù)字的矩形陣列區(qū)別于行列式而發(fā)明了這個(gè)述語。而實(shí)際上，矩陣這個(gè)課題在誕生之前就已經(jīng)發(fā)展的很好了。從行列式的大量工作中明顯的表現(xiàn)出來，為了很多目的，不管行列式的值是否與問題有關(guān)，方陣本身都可以研究和使用，矩陣的許多基本性質(zhì)也是在行列式的發(fā)展中建立起來的。在邏輯上，矩陣的概念應(yīng)先于行列式的概念，然而在歷史上次序正好相反。先把矩陣作為一個(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)概念提出來，并首先發(fā)表了關(guān)

2、于這個(gè)題目的一系列文章。凱萊同研究線性變換下的不變量相結(jié)合，首先引進(jìn)矩陣以簡化記號(hào)。1858年，他發(fā)表了關(guān)于這一課題的第一篇論文《矩陣論的研究報(bào)告》，系統(tǒng)地闡述了關(guān)于矩陣的理論。文中他定義了矩陣的相等、矩陣的運(yùn)算法則、矩陣的轉(zhuǎn)置以及矩陣的逆等一系列基本概念，指出了矩陣加法的可交換性與可結(jié)合性。另外，凱萊還給出了方陣的特征方程和特征根（特征值）以及有關(guān)矩陣的一些基本結(jié)果。凱萊出生于一個(gè)古老而有才能的英國家庭，劍橋大學(xué)三一學(xué)院大學(xué)畢業(yè)后留校講授數(shù)學(xué)，三年后他轉(zhuǎn)從律師職業(yè)，工作卓有成效，并利用業(yè)余時(shí)間研究數(shù)學(xué)，發(fā)表了大量的數(shù)學(xué)論文。1855年，埃米特(C.Hermite，

3、1822～1901)證明了別的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的一些矩陣類的特征根的特殊性質(zhì)，如現(xiàn)在稱為埃米特矩陣的特征根性質(zhì)等。后來，克萊伯施(A.Clebsch，1831～1872)、布克海姆(A.Buchheim)等證明了對(duì)稱矩陣的特征根性質(zhì)。泰伯(H.Taber)引入矩陣的跡的概念并給出了一些有關(guān)的結(jié)論。在矩陣論的發(fā)展史上，弗羅伯紐斯(G.Frobenius,1849-1917)的貢獻(xiàn)是不可磨滅的。他討論了最小多項(xiàng)式問題，引進(jìn)了矩陣的秩、不變因子和初等因子、正交矩陣、矩陣的相似變換、合同矩陣等概念，以合乎邏輯的形式整理了不變因子和初等因子的理論，并討論了正交矩陣與合同矩陣的一些重

4、要性質(zhì)。1854年，約當(dāng)研究了矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)型的問題。1892年，梅茨勒(H.Metzler)引進(jìn)了矩陣的超越函數(shù)概念并將其寫成矩陣的冪級(jí)數(shù)的形式。傅立葉、西爾和龐加萊的著作中還討論了無限階矩陣問題，這主要是適用方程發(fā)展的需要而開始的。矩陣本身所具有的性質(zhì)依賴于元素的性質(zhì)，矩陣由最初作為一種工具經(jīng)過兩個(gè)多世紀(jì)的發(fā)展，現(xiàn)在已成為獨(dú)立的一門數(shù)學(xué)分支——矩陣論。而矩陣論又可分為矩陣方程論、矩陣分解論和廣義逆矩陣論等矩陣的現(xiàn)代理論。矩陣的應(yīng)用是多方面的，不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里，而且在力學(xué)、物理、科技等方面都十分廣泛的應(yīng)用。廣義逆矩陣不僅在數(shù)據(jù)分析、多元分析、信號(hào)處理、系統(tǒng)理論、現(xiàn)代

5、控制理論、網(wǎng)絡(luò)理論等許多領(lǐng)域中有著重要的應(yīng)用，而且在解線性方程組、矩陣方程組，以及在測(cè)量平差中和平面四桿機(jī)構(gòu)綜合中，還有在求解離散型動(dòng)態(tài)投入產(chǎn)出模型中都有廣泛的應(yīng)用。這使廣義逆矩陣得到迅速發(fā)展，并成為矩陣論的一個(gè)重要分支。本文主要研究在解線性方程組、矩陣方程組，以及在測(cè)量平差中和平面四桿機(jī)構(gòu)綜合中的應(yīng)用。二、研究的基本內(nèi)容與擬解決的主要問題本文研究的基本內(nèi)容為：(一)、引言，主要包括課題研究的背景、研究意義等。(二)、幾種廣義逆矩陣的敘述，包括Moore—Penrose廣義逆矩陣及其分類、左逆、右逆。(三)、廣義逆矩陣的一些性質(zhì)以及證明過程。(四)、廣義逆矩陣的一些

6、應(yīng)用，包括在解線性方程組、矩陣方程，測(cè)量平差以及在平面四桿機(jī)構(gòu)綜合中等方面的應(yīng)用，給出相應(yīng)的例題。了解廣義逆矩陣的幾種定義，運(yùn)用廣義逆矩陣的計(jì)算方法及其性質(zhì)，不僅可以解系數(shù)矩陣是方陣的線性方程組，而且還可以解系數(shù)矩陣是的矩陣的一般線性方程，以及矩陣方程?？梢蕴岣呃脧V義逆矩陣解決實(shí)際問題的能力。三、研究的方法與技術(shù)路線、研究難點(diǎn)，預(yù)期達(dá)到的目標(biāo)（一）、先采用文獻(xiàn)研究法，搜集和閱讀大量的相關(guān)文獻(xiàn)，了解國內(nèi)外的研究現(xiàn)狀，吸收新理念，并對(duì)資料進(jìn)行分類整理。再通過實(shí)例分析，進(jìn)一步了解廣義逆矩陣的性質(zhì)，能更熟練地運(yùn)用廣義逆矩陣的性質(zhì)來解線性方程、矩陣方程。（二）、研究的主要難

7、點(diǎn)，如何運(yùn)用廣義逆矩陣的性質(zhì)來解線性方程、矩陣方程。（三）、預(yù)期達(dá)到的目標(biāo)，通過本課題的研究，學(xué)習(xí)廣義逆矩陣的性質(zhì)，能運(yùn)用廣義逆矩陣的性質(zhì)來解線性方程、矩陣方程。四、論文詳細(xì)工作進(jìn)度和安排第七學(xué)期第9周至第11周：論文選題，查閱文獻(xiàn)資料，收集信息；第七學(xué)期第12周至第18周：在廣泛查閱文獻(xiàn)資料的基礎(chǔ)上，完成綜述及其論文開題報(bào)告，完成外文翻譯；第八學(xué)期第1周至第3周：全面開展課題研究，完成論文初稿；第八學(xué)期第4周至第13周：反復(fù)修改畢業(yè)論文，最后定稿，準(zhǔn)備答辯。五、參考文獻(xiàn)：[1].尹釗，賈尚暉.Moore—Penrose廣義逆矩陣與線性方程組的解[J].數(shù)學(xué)的實(shí)