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《線性代數(shù)課件03.向量空間》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、第三章向量空間Rn§3.5歐氏空間Rn§3.3向量組的秩§3.2一個(gè)n元向量組的線性相關(guān)性§3.1向量及其線性組合§3.4向量空間1§3.1向量及其線性組合三維空間的向量:有向線段。建立標(biāo)準(zhǔn)直角坐標(biāo)系后，它由一點(diǎn)P或一個(gè)三元數(shù)組(x,y,z)唯一確定。我們還定義了向量的加法(即平行四邊形法則)和向量的數(shù)乘兩種運(yùn)算。2建立坐標(biāo)系的目的就是把向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)(坐標(biāo))的運(yùn)算.由于解線性方程組等實(shí)際的需要，我們要把三維空間中的向量進(jìn)行推廣(把幾何向量代數(shù)化)。直接把n元的數(shù)組叫做(代數(shù)中的)向量，向量加法與數(shù)乘運(yùn)算的定義直接平移三維向量坐標(biāo)的運(yùn)算。3定義n個(gè)
2、數(shù)組成的有序數(shù)組稱為一個(gè)n維行向量或n維列向量,其中稱為該行(列)向量的第i個(gè)分量.行向量與列向量統(tǒng)稱為向量.分量全是實(shí)數(shù)(復(fù)數(shù))的向量稱為實(shí)(復(fù))向量,n維實(shí)(復(fù))向量的全體記為.以后如無(wú)特殊說(shuō)明,向量均指實(shí)向量.約定:所書寫的向量如無(wú)特殊說(shuō)明均指列向量,而行向量用列向量的轉(zhuǎn)置表示.向量的加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算同矩陣的這兩種運(yùn)算一樣.或4由若干個(gè)同維數(shù)的列(行)向量組成的集合稱為一個(gè)向量組.如無(wú)特殊說(shuō)明,向量組總是指含有限個(gè)向量的向量組.例如:m×n的矩陣A全體列向量是含n個(gè)m維列向量的向量組,簡(jiǎn)稱A的列組;全體行向量是含m個(gè)n維的行向量組,簡(jiǎn)稱A的行組
3、.再如:解的全體是一個(gè)含無(wú)窮多個(gè)n維列向量的向量組.定義5觀察如圖三維空間中的向量,必有不可能再觀察下面方程組增廣矩陣的行組有如下關(guān)系這說(shuō)明第(4)和第(5)個(gè)方程都是多余的,可以去掉.6向量是矩陣的特例，向量的相等、加、減、數(shù)乘運(yùn)算對(duì)應(yīng)于矩陣的相應(yīng)運(yùn)算。向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算。在Rn中的向量滿足以下8條規(guī)律：其中a、b、g都是n維向量，k、l為實(shí)數(shù)。向量的線性運(yùn)算7解，求使例18對(duì)于向量組,表達(dá)式則稱向量可由向量組A線性表示.通常寫成稱為向量組A的一個(gè)線性組合.又如果是向量組A的一個(gè)線性組合,即存在數(shù)使向量的線性表示91°零向量可
4、由任一組向量線性表示。中每個(gè)向量都可由向量組本身2°向量組線性表示，注意3°任一n元向量都可由n元單位向量組線性表示，即10n元線性方程組可以用向量形式表示為a11x1a21x1???am1x1a12x2a22x2???am2x2????????????a1nxna2nxn???amnxnb1b2???bm====++++++++++++(1)其中對(duì)應(yīng)齊次方程組(2)可用向量形式表示為,,…，，線性方程組的向量表示11向量可由向量組線性表示存在數(shù)使即有解學(xué)會(huì)這種轉(zhuǎn)換就可以了!注意:符號(hào)混用另外,如果解唯一,則表示方法是唯一的.如果……(按定義)(轉(zhuǎn)換為
5、方程組)(用矩陣的秩)方程組定理3.1.112例2解記不能由A線性表示;能由A唯一表示;能由A有無(wú)窮多種表示,并求所有表示方法.設(shè)向量組A:問(wèn)為何值時(shí),向量只需討論解的情況.具體解方程組過(guò)程略。時(shí),方程組無(wú)解,不能由A表示.時(shí),方程組有唯一解,可由A唯一表示.13時(shí),方程組有無(wú)窮多解,可由A無(wú)窮多種表示.通解為所有表示方法:其中k為任意實(shí)數(shù).即14第三章§3.5歐氏空間§3.3向量組的秩§3.2一個(gè)n元向量組的線性相關(guān)性§3.1向量及其線性組合§3.4向量空間向量空間Rn15§3.2一個(gè)n元向量組的線性相關(guān)性看看三維空間中的向量(如圖)設(shè)可表為,說(shuō)明這
6、三個(gè)向量任何一個(gè)都不能由其它兩個(gè)向量線性表示,說(shuō)明它們是異面的.這三個(gè)向量在一個(gè)平面內(nèi)(共面).16我們把上面這種向量之間的最基本的關(guān)系予以推廣,并換一種叫法.定義向量可由其余的向量線性表示,則稱該向量組線性相關(guān);否則,如果任一向量都不能由其余向量線性表示,則稱該向量組線性無(wú)關(guān)(或獨(dú)立).設(shè)向量組,如果其中一個(gè)定理3.2.1線性相關(guān)與線性表示之間的關(guān)系……(證明略)17當(dāng)m≥2時(shí)，向量組線性無(wú)關(guān)向量組中任一個(gè)向量都不能用其余m-1個(gè)向量線性表示。定理3.2.1逆否命題等價(jià)定義如果存在不全為零的數(shù)使得則稱該向量組線性相關(guān).否則,如果設(shè)便能推出則稱該向量組
7、線性無(wú)關(guān).如何用數(shù)學(xué)式子表達(dá),以便理論推導(dǎo)向量組的相關(guān)性?定義118存在不全為零的數(shù)使即有非零解.還是轉(zhuǎn)換！轉(zhuǎn)換線性無(wú)關(guān)…向量組線性相關(guān)(按定義)(轉(zhuǎn)化為方程組)齊次方程組(用矩陣的秩)把向量組排成矩陣，如果矩陣的秩等于向量的個(gè)數(shù)就線性無(wú)關(guān)，否則如果矩陣的秩小于向量的個(gè)數(shù)就線性相關(guān)。定理3.2.3證明向量組線性相關(guān)性的基本方法（向量方程）19問(wèn)向量組和的線性相關(guān)性?線性相關(guān).線性無(wú)關(guān).例120例2設(shè)向量可由線性無(wú)關(guān)的向量組線性表示,證明表法是唯一的.證設(shè)有兩種表示方法由線性無(wú)關(guān)21證明向量組線性無(wú)關(guān).證利用條件設(shè)法推出即可.設(shè)(1)(1)式左乘得(1)
8、式成為(2)(2)式左乘同理推出例322(參見(jiàn)P.99—101)(1)“部分相關(guān),則整體相關(guān).
